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ble, & c'eft ce qui arrive dans la transformation de 1-^2 en 



la férié ci-deffus -^^ , -i=^ , -^^ , -^^=^ , ^^ , &c. 



La même chofe arrive dans J^y , qui fe transforme dans 



k/* / • 2-4- 9-4- 3 8 -f- 1 5 1 6 81 -4- * _ 



férie —7^ , - — , -^—^ , : — , ^^ , &c. 6c 



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dans y^io,y^ij , &c. & en géuéral dans Ka a -{- i. 



Le fécond cas eft lorfque l'une des deux différences eft 

 feulement d'une unité dans le quarré multiple, & que l'autre 

 d-ifférence eft plus grande, comme il arrive dans V^ , où 

 l'excès dans le quarré triple n'elt que d'une unité ; mais le 

 d<ffaut eft de 2. 



Enfin le troifieme cas eft Icrfque ces différences font en 

 général toutes deux plus grandes que l'unité , mais pourtant 

 les plus petites Qu'il foit pofTible. 



La dertïiere perfeâion de la méthode dans la réfolution • 

 des équations qui ont des racines irrationnelles , eft de trou- 

 ver ces racines fi approchées, que la différence de Ihcmo- 

 gene de comparatfon qui en réfulte foit toujours moindre 

 que l'unité & par excès & par défaut. Il n'y a.point d'autre 

 limitation qui ne fait arbitraire. Celk-ci eft fondée fur la 

 nature même des nombres. 



Il y a apparence qu'Archimede reconnut d'abord fimple- 

 ment par induflion & en tâtonnant, que la première efpece 

 de frattion qui fe préfente pour v'5 , c'eftf, car le quarré 4. 

 du numérateur 2 excède d'une unité le triple du. quarré i 

 dadénominateur I : en effet 4= 3 x i -h i. 



La féconde fraâion qui fe préfente enfuite eftf, car le 



quarré 25 du numérateur j eft furpaffé de 2 par le triple du 



quarré p du dénominateur 3 ; en effet 2y==3xp — 2 



= 27 ■ — 2. 



La troifieme fra£tion eft f , qui donne f| &4p := 3 x ï6 



Oh trouvera de même là quatrième fràûion 77 qui donne 

 ôc 361 = 3 X 121 — 2. , 



Et la cinquième f-j, qui donnelfj & ^1^ = 3 x ssy •+- 1». 



H Jij . 



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