8 HisToiRE DE L’'ACADÉMIE ROYALE. 
qui font élevées à une puiffance variable, fimple ou compotée, 
comme a* ou 47"; car les expofans peuvent y recevoir 
toutes fortes de formes, même admettre les racines imaginaires. 
Les propofitions fur les finus, cofinus, tangentes & fécantes 
des arcs de cercle, fuivent les quantités exponentielles ; lau- 
* teur s’en fert pour démontrer le fameux théorème de M. Côtes, 
& pour donner une théorie très : étendue des racines ima- 
ginaires des équations , morceau d'autant plus intéréflant, 
qu'il manquoit ablolument , même dans les meilleurs livres 
d’Algèbre, & qu'il eft abfolument & effentiellement néceffaire 
au calcul intégral. 4% 
Telles font les matières dont M. de Bougainville a com- 
poié fon introduétion ; muni de ces principes, il vient enfin 
au calcul intégral proprement dit, & qui fait fon véritable 
objet. . PES 
Puifque les différentielles font les élémens infiniment petits 
des quantités, il y en a d'autant d'efpèces différentes qu'il y 
a de différentes quantités: quelquefois les quantités fe com- 
binent entr'elles ; il faut auffi, dans ce cas, que les difléren- 
tielles fuivent la même forme: quelquefois aufli cette com- 
plication n'eft qu'apparente, & n'eft düe qu'à la tournure du 
calcul ; & dans ce cas, un calcul mieux conduit peut les rap- 
peler à une forme plus fimple & plus aifée à intégrer. M. de 
Bougainville commence donc fon ouvrage par Ja manière 
d'intégrer les différentielles de la forme la plus fimple; if 
en donne les règles & en fait l'application à différens cas, 
rélolvant par-tout les difficultés qui s’y rencontrent, & pañle 
enfuite aux méthodes de transformer, lorfqu'il eft pofible, 
les équations différentielles trop rébelles & trop compliquées, 
en d'autres plus fimples & plus aifées à foûmettre au calcul. 
Les équations différentielles ne s'obtiennent qu'en fuppo- 
fant qu'une quantité qui va en croiflant ou en décroillant, 
& qui Par conféquent eft variable, fe trouve dans deux fr- 
tuations infiniment proches. Il fuit de-fà, que toute quantité 
conflante, c'eft-à-dire qui ne croît ni ne décroit, ne peut 
avoir de diflérence, & que par conféquent elle peut bien 
