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A, Fm = 0 (en rere) 
liefern die erste, zweite u. s. w. (m — 1)-te Polare des Punktes D,, by, ..., 
b, +1 in bezug auf die Mannigfaltigkeit (1). 
Es mögen nun die Größen: 
V4 Vo Vin 
= D ee kp (2) 
Yn+1 Yn+1 Yn+1 
Kartesische Parallelkoordinaten sein. Wenn die Gleichung (1) nach Po- 
tenzen von y,+41 geordnet, die Gestalt: 
y n-1 -2 € 
Po Yn +1 + Pa Yn+1 Är Po Vag a +... + Pm—=0 (3) 
besitzt, so ist jede Funktion g, eine Form vom Grade 7 in bezug auf die 
Veränderlichen 4,, Ya, . .., v, und die Gleichung der Mannigfaltigkeit (1), 
in Kartesischen Parallelkoordinaten (2) ausgedrückt, kann derart erhalten 
werden, daß man in der Gleichung: 
Po tp Pi a Po T.2...9—=0 
die Veränderlichen x; an Stelle der Veränderlichen vy; setzt. 
Wir setzen nun voraus, daß der Punkt b,, bs, ..., b, 41 im End- 
lichen gelegen ist, d. b. daß b,,, #0 ist. Wir können ferner annehmen, 
daß der Anfangspunkt des Parallelkoordinatensystems in diesem Punkte 
gewählt ist, d. b. daB 6, =b,=...=b, = 0 ist. Um die Gleichungen 
der Polaren dieses Punktes in bezug aut die Mannigfaltigkeit (1) zu er- 
halten, können wir b,,1— 1 setzen und auf Grund der Gleichung (3) 
di: Kosffizienten der Entwickelung der Funktion: 
2 Pr (Vn + 1 Os 
nach Potenzen von @ berechnen. Für diese Funktion ergibt sich aber 
deı Ausdruck: 
m m-l (m-r =] 
21 Q! 2 l Yn+1 Pr: 
o o 
wir erhalten also für 4), F„ die Formel: 
1 m-1 
My Fy = Zr (m — 7) (m 
o 
1)... (m—r—b + i) eee Pr - 
Y 
Demnach ergeben sich in Kartesischen Parallelkoordinaten folgende 
Gleichungen der Polaren des Anfangspunktes in bezug auf die Mannig- 
faltigkeit (1): 
m-L 
Zr (m—r) (m—r7—1)...{(m—7r—1+1) p = 0,7 = 1, 2,...,m— 1), 
wo in den Formen g, die Veränderlichen y; durch die Veränderlichen x; 
ersetzt sind. 
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