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Wir werden diese Gleichungen in dem Falle in Anwendung bringen, 
wenn der betrachtete Punkt, d. h. der Anfangspunkt des Koordinaten- 
systems auf der Mannigfaltigkeit m-ten Grades gelegen ist. Wir nehmen 
also an, daß q gleich Null ist und erhalten für die betrachteten Polaren 
die Gleichungen: 
m — 2 m — 3 if 
m ee +... en 
ab nt m—ı #3 au een au | 
( 3) um — 4) 2 Pn-2 | 
= D + neue =i). 
Pt TT aT) nd T° SGT may by 
! 0 | 
TL ater 
Pi = 0 | 
Alle diese Mannigfaltigkeiten haben den Anfangspunkt mit der Mannig- 
faltigkeit m-ten Grades gemein und unter der Voraussetzung, daß die 
Form y, nicht identisch gleich Null ist, besitzen sie in diesem Punkte mit 
der genannten Mannigfaltigkeit die gemeinsame ebene Tangentialmannig- 
faltigkeit, deren Gleichung: 
9, — 0 
ist. 
Wir führen nun ein neues Parallelkoordinatensystem 2, 23, ..., 2n 
ein, dessen Anfangspunkt in dem früheren Anfangspunkte gelegen ist und 
dessen Mannigfaltigkeit z, = 0 die Tangentialmannigfaltigkeit p, = 0 ist. 
Alsdann ist eine der Transformationsbeziehungen: 
a Py 
= 2n » 
wo «ein zweckmäßig gewählter von Null verschiedener Faktor ist und 
wir können in neuen Koordinaten die Gleichungen der Mannigfaltigkeit (1) 
und der Polaren folgendermaßen darstellen 
en = Wo = Wy en ar A 2n = ’ 
m — 1 — | 2 = 
En en (a an AR er (5) 
(= 1,2,...,m—2, m— 1) 
wo Ÿ, eine Form zweiten Grades in den Veränderlichen 2, 23 ..., 2-1, 
w, eine Form ersten Grades in denselben Veränderlichen, A ein Koeffizient 
und die weggelassenen Glieder, talls sie tatsächlich auftreten, vom dritten 
und höheren Graden in bezug auf die Koordinaten 2, 2, ..., Zn Sind. 
Wir können sowohl für die Mannigfaltigkeit (1) selbst, wie auch für die 
Polaren die Veränderliche z, nach Potenzen der Veränderlichen 2,, 2, 
. 2n.-1 in der Umgebung des Anfangspunktes entwickeln und wir 
nas auf Grund der Beziehungen (5) die Potenzreihen: 
