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2n = Va + Vs + dit ..., | 
— ] 
Zn = An un + Wer + Var +. (6) 
(= 1, 2, ..:, m— 2, m—1) | 
wo w, die frühere Form zweiten Grades bezeichnet und wo Ws, v3); U4, War; 
. Formen dritten Grades, vierten Grades u. s. w. in den Veränderlichen 
Zi 2 - -., 2n-1 Sind. Wir gehen auf diese Glieder dritten, vierten und 
höheren Grade nicht näher ein, wenden uns aber dazu, diejenigen Eigen- 
schaften der Polaren zu besprechen, welche aus den Gliedern zweiten Grades 
der Entwickelungen (6) folgen. 
2. Es möge zunächst n = 2 sein, d. h. es sei die Mannigfaltigkeit (1) 
eine Kurve in der Ebene. Unsere Entwickelungen (6) liefern eine ana- 
lytische Darstellung dieser Kurve in der Umgebung eines endlichen Punktes 
derselben, welcher kein vielfacher Punkt ist und als Anfangspunkt der 
Koordinaten angenommen wird. Diese Entwickelungen können in dem 
betrachtenen Falle folgendermaßen dargestellt werden: 
x „2 „3 „4 
2g = Ay À + Ag 21 ap ical ae 0,0 oh 
m — 1 —} 2 3 4 
21 
(= 1, 2, ..., m—2, m—1) 
wobei bemerkt werden kann, daß z, = 0 die Tangente der Kurve 1m An- 
fangspunkte ist und der Buchstabe a mit Indices Koeffizienten bezeichnet. 
Weil nun bei einer derartigen Darstellung der Koeffizient bei zi der Krüm- 
mung der Kurve im Anfangspunkte proportionell ist, so kommen wir auf 
den folgenden Satz. 
Auf der Normale einer algebraischen ebenen Kurve #-ten Grades in 
einem beliebigen, endlichen, einfachen Punkte derselben kann die Lage 
des Krümmungscentrums dieses Punktes der Kurve und die Lage der 
Krümmungscentra der ersten, der zweiten u. s. w. der (m — 2)-ten, der 
(m — 1)-ten Polaren dieses Punktes in bezug auf dieselbe algebraische 
Kurve durch die Reihe von Größen 
2 = 2 R, — —R, .... (m—1) R © 
dargestellt werden, welche Krümmungsradien sind, die vom gemeinsamen 
Kurvenpunkte auf derselben Seite der Normale abzutragen sind. 
Indem wir zum n-fachen Raume übergehen, machen wir zunächst 
die Bemerkung, daß wenn die Indicatrix der Krümmung der Mannig- 
faltigkeit (1) im Anfangspunkte durch die Gleichung: 
