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in Anwendung bringen, wo die Koeffizienten A derart gewählt sind, daß 
diese Variabelnänderung eine Transfoımation zweier Systeme paralleler 
Koordinaten ist, so werden wir im neuen Systeme die Gleichungen der 
Mannigfaltigkeiten (6) in der Umgebung des Anfangspunktes durch die 
Entwickelungen: 
25 == Oy + Os ae dx oc | 
m—1—Il _, ? : iS 
An — ei] Ÿ, À Ws 1 USE oo 6 (7) 
(=1, 2,.... m—2, m—1) 
darstellen können, wo wy’; #3", 03:5 Wy’, Wir; ... Formen zweiten, dritten, 
vierten, ... Grades in den Veränderlichen z,’, z,,..., 2-1 sind. Wenn 
man die Mannigfaltigkeiten (7) mit der Mannigfaltigkeit: 
a REAL: Al (8) 
schneidet, so erhält man ebene Kurven, welche im gemeinsamen Anfangs- 
punkte wiederum die früheren Krümmungseigenschaften besitzen. Beachtet 
man aber, daß das neue Koordinatensystem derart gewählt werden kann, 
daß die Mannigfaltigkeit (8) eine beliebige lineare Mannigfaltigkeit von 
zwei Dimensionen ist, die den Anfangspunkt enthält, aber in der Tangential- 
mannigfaltigkeit z, = 0 nicht enthalten ist, so kommt man auf den fol- 
genden Satz. 
‘Wenn man eine (n — 1)-fache algebraische Mannigfaltigkeit m-ten 
Grades im Raume von n Dimensionen und die Polaren in bezug auf diese 
Mannigfaltigkeit eines beliebigen, endlichen, einfachen Punktes derselben 
mit einer linearen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit schneidet, welche 
diesen Punkt enthält, aber in der linearen Tangentialmannigfaltigkeit der 
Mannigfaltigkeit m-ten Grades in diesem Punkte nicht enthalten ist, so 
erhält man eine Reihe ebener algebraischer Kurven, deren Krümmungs- 
radien im genanten Punkte auf derselben Seite der gemeinsamen Normale 
liegen und durch die Reihe: 
m — 1 m — 1 
5 —R,..., (n—1)R, co 
m — 2 m—3 ~ ) 
dargestellt werden können. 
3. Bezeichnet wie früher # eine Form k-ten Grades in den Ver- 
änderlichen 2,, 2, ..., 21-1 und stellen diese Veränderlichen in Verbindung 
mit 2, Kartesische Parallelkoordinaten eines Punktes im #-fachen Raume 
dar, so wird durch die Gleichung: 
2n = Vo + Ug... + Um (9) 
eine (n — 1)-dimensionale algebraische Mannigfaltigkeit m-ten Grades 
definiert, welche parabolische Mannigfaltigkeit genannt werden kann. Auf 
Grund der Gleichungen (4) bestimmen die Gleichungen: 
