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Diese beiden Involutionen sind projektiv und es entspricht dem 
beliebigen Geradenpaare x, y in J ein gewisses Geradenpaar x’, y’, das 
der zweiten Involution angehört und welches demjenigen linearen Com- 
plexe des Büschels zugehört, der durch die beiden Geraden x, y hindurch- 
geht. Das verallgemeinerte Cylindroid können wir dann als den Inbegriff 
aller ©! Diagcnalpaare der 1 Vierseite x, y, x’, y’ definieren. 
Wir werden jetzt den Satz beweisen, daß jede Projektivität zweier 
gewöhnlichen Involutionen in beiden Regelscharen % zu einem verallge- 
meinerten Cylindroide führt, oder, was natürlich dasselbe ist, daß jede 
solche Projektivität immer irgendein Complexbüschel hervorruft. 
Es seien a,, bı; dy, by; a3, b, drei Paare der Involution J in der ersten 
Regelschar der absoluten Fläche und es seien weiter ay’, by’; ay’, by ; ag, by 
drei Paare der Involution J’ in der zweiten Regelschar der Fläche 2, 
die den ersten Paaren durch eine gewisse Projektivität zugeordnet sind. 
Bezeichnen wir die Diagonalseiten der windschiefen Vierecke a,, b,, a,', by’ 
und dy, bs, dy’, by mit m, n resp. m’, n’. Die zwei Complexbüschel S, und 
S,’ bestimmen mit den Grundcongruenzen [m, n] und [m’, n’] ein lineares 
System von lin. Complexen dritter Stufe S, mit den Grundgeraden 4, g, 
welche nichts anderes als die gemeinsamen Transversalen von den 4 Ge- 
raden m, n, m’, n’, sind. Betrachten wir jetzt einen beliebigen lin. Com- 
plex T aus dem Complexbüschel, der durch die 4 Complexgeraden a,, a3’, p, q 
bestimmt ist. Durch diesen Complex T' legen wir jetzt einen Complex- 
büschel S,’’ hindurch, welcher auch die Complexe aus den Büscheln S, 
und S,’ enthält. Zu diesem Probleme ist in der Punktgeometrie jenes 
Problem ganz analogisch, wo wir zu zwei windschiefen Geraden die durch 
einen gegebenen Punkt hindurchgehende Transversale konstruiren. Der 
Complex T' bestimmt mit den beiden Complexbüscheln S, und 5,’ zwei 
lineare Complexsysteme zweiter Stufe S, und S,’, welche beiden Systeme, 
da sie in demselben Systeme dritter Stuffe S, enthalten sind, einen gewissen 
Complexbüschel S,’’ gemeinsam haben. Und der Büschel S,” ist derjenige 
Büschel, welcher unsere beide projektive Involutionen J, und J, aus 
den beiden Regelscharen der absoluten Fläche ausschneidet. Damit ist 
‘also unsere Behauptung bewiesen worden. 
Weil der lineare Complex I in dem Büschel aller linearen Complexe 
durch die vier Geraden as, as‘, p, g ©! verschiedene Lagen einnehmen 
kann, so sehen wir, daß wir zu einer Mannigfaltigkeit von den ©! Büscheln 
kommen, daß also jede Projektivität zweier Involutionen in den verschie- 
denen Regelscharen der absoluten Fläche von #1! Complexbüscheln be- 
stimmt sein kann. 
Wir können also folgenden Satz aussprechen: 
Wenn wir in den beiden Regelscharen eines Hyper- 
boloides je eine Involution haben und wenn diese beiden 
Involutionen projektiv bezogen sind, dann erfüllen die 
Diagonalpaare der ©1 windschiefen Vierecke, deren je zwei 
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