59 
Cylindroid‘“ (Bulletin international de l’Académie des Sciences de Bohême, 
1914) bei dem linearen Systeme erster Stufe studiert haben, wollen wir 
noch bei dem linearen Systeme S, dritter Stufe weiter verfolgen. Wir 
werden uns also mit dem projektiv verallgemeinerten Complexe der Axen 
der lin. Complexe des Systemes S, beschäftigen, d. h. mit dem projektiv 
verallgemeinerten A? Complexe, wie R. Sturm diesen quadratischen Complex 
nennt. Weiter wollen wir noch in dieser Abhandlung kurz den Fall be- 
sprechen, zu welchen geometrischen Örtern wir gelangen, wenn wir die 
Polarität der absoluten Fläche durch die Polarität eines festen linearen 
Complexes ersetzen. 
1. Über die projektive Verallgemeinerung der Wälschschen Congruenzen. 
Es sei das lineare System 2. Stufe S, von linearen Complexen gegeben 
Bezeichnen wir R, als die Grundregelschar unseres Systemes S, dh aig 
Regelschar der Coden die allen ©? Complexen des systemes S, gemeinsam 
sind. Die Leitschar dieser Regelschar R,, die wir mit R, bezeichnen 
wollen, bildet bekanntlich den Inbegriff der Leitgeraden aller ©! Gebiische 
unseres Systemes S,. Wir wollen jetzt den geometrischen Ort der pro- 
jektiv verallgemeinerten Achsenpaare der linearen Complexe des Sy- 
stemes S, studieren. Weil wir jede zwei Geraden der Regelschar R, als 
ein Paar von conj. Polaren in Bezug auf die linearen Complexe eines Bü- 
schels, der in S, enthalten ist, betrachten können, können wir unseren 
geometrischen Ort als den Inbegriff aller derjenigen Paare von conj. Po- 
laren der absoluten Fläche definieren, die mit beliebigen zwei Geraden 
der Regelschaar R, ein hyperboloidisches Quadrupel bilden. 
Die gemeinsamen conj. Polaren in Bezug auf 9%? und in Bezug auf 
die Complexe des Systemes S, finden wir immer als die beiden gemein- 
samen Transversalen von zwei beliebigen Geraden J, k der Grundregel- 
schar R, und ihren in Bezug auf 9%? c njugierten Polaren /’ k’ die auf Regel- 
schar R,’ liegen, die zu der Grundregelschar R, in Bezug auf % polar ist. 
Denken wir uns jetzt in einem Punkte P einen beliebigen Strahl p und es 
schneide dieser Strahl die Geraden x, y von der Regelschar R, aus. Seien 
dann x’, y’ die, den Geraden x, y in der Polarität 9 entsprechenden Ge- 
raden, und es seien p’ die Transversale der letzten beiden Geraden, welche 
durch den Punkt P hindurchgeht. Wir haben auf diese Weise zwischen 
Geraden p vnd p’ eine Collineation in dem Strahlenbiindel P bekommen. 
Die drei Doppelstrahlen dieser Collineation sind die drei Congruenzstrahlen 
im Punkte P. Wir sehen also, daß unsere Congruenz von dritter Ordnung 
ist. Auf ganz duale Weise könnten wir beweisen, daß unsere Congruenz 
von dritter Klasse ist. Wir wollen diese Congruenzen mit C,, bezeichnen. 
Wir können also folgenden Satz aussprechen: 
Der geometrische Ort der Paare von conjugierten Po- 
laren einer gegebenen Fläche zweiter Ordnung %, welche 
