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Wir werden jetzt beweisen, daß der verallgemeinerte A? Complex ein 
quadratischer Complex mit zwei doppelten Geraden ist und zwar daß er 
1 lineare Congruenzen enthält, von denen jede immer zwei polaren lin. 
Complexen in den polaren Complexbüscheln S, und S,’ mit den Grund- 
congruenzen [m, n] und [m’, n’] gemeinsam ist. 
Betrachten wir in den Complexbüscheln S, und S,’ zwei in Bezug 
auf A? polare lineare Complexe I’ und I”. Diese beiden Complexe schneiden 
sich in einer in Bezug auf % polarinvarianten linearen Congruenz [g, g”) 
und von den Geraden dieser linearen Congruenz wollen wir beweisen, 
daß sie unserem verallgemeinerten A? Complexe angehören. Betrachten 
wir eine beliebige Gerade ¢ der lin. Congruenz [g, g’j; und die Gerade ?’, 
welche zur ersten Geraden ¢ in Bezug auf W? polar ist. Wir sollen dann 
beweisen, daß in der Congruenz [n, n] immer ein Geradenpaar existiert, 
das mit den beiden Geraden #, ¢’ ein hyperboloidisches Quadrupel bildet. 
Die Existenz dieses Geradenpaares wird dadurch bestätigt, daß wir 
die Existenz eines gewissen linearen Complexes nachweisen, dem die 
Geraden m, n, als Complexgeraden und die Geraden #, ¢’ als conjugierte 
Polaren angehören. Den gesuchten linearen Complex ® bekommen wird 
als den gemeinsamen Complex des Complexsystemes S, und des Büschels 
der lin. Complexe mit der Grundcongruenz [i, ¢’]. Aber ein Complexbüschel 
und ein lin. System 3. Stufe von lin. Complexen kommen in der fünf- 
dimensionalen linearen Mannigfaltigkeit aller linearen Complexe erst dann 
zum Schnitte, wenn sie sich in einem lin. Complexsysteme 4. Stufe be- 
finden. Und das ist gerade be’ unseren Betrachtungen der Fall. Denn es 
befinden sich der unsere Complexbüschel mit der Grundcongruenz [t, #] 
und das System S, in demselben lin. Systeme 4. Stufe nämlich dem Systeme 
aller 04 linearen Complexe, die in Bezug auf den Complex I’ polarinvariant 
sind. Es ist nämlich der Complex büsckel mit der Grundcongruenz [t, #] in 
Bezug auf T polarinvariant, denn alle Complexe dieses Büschels haben 
das gemeinsame Paar von conjugierten Polaren ¢, ¢’, das im Complexe T' 
enthalten ist. Ebenso alle ®® lin. Complexe des Systemes S, enthalten die 
Geraden m, n, welche ein Paar von conjugierten Polaren des Complexes T' 
bilden. Es ist also auch das System S, in Bezug auf den Complex I’ polar- 
invariant. Damit ist also die Existenz des linearen Complexes © bewiesen 
worden. Die zur einer beliebigen Geraden A der linearen Congruenz [m, n] in 
Bezug auf den linearen Complex ® conjugierte Polare h’, ist wieder eine 
Gerade der Congruenz [m, n], denn die Geraden m, n sind die Geraden 
des Complexes ®. Es bilden dann die vier Geraden h, h’, t, !', als zwei 
Paare von conj. Polaren des lin. Complexes P, das hyperboloidische Quad- 
rupel, was wir beweisen sollten. ; 
Wir können also den verallgemeinerten A? Complex als das Erzeugniß 
von zwei polaren Complexbüscheln mit den Grundcongruenzen [m, 1] 
und [m’, n'] betrachten. Es ist also der verallgemeinerte A? Complex 
quadratisch. 
