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ist, und durch eine reelle Berührungsebene z,, welche eine gegebene Er- 
zeugende von den drei übrigen trennt; und ebenso der Kegel x,? durch 
vier reelle Erzeugende A, B,, C,, D, und eine reelle Berührungsebene 7, 
unter denselben Bedingungen. 
Nehmen wir die reellen Erzeugenden der pede ae so an, daß 
sie sich gegenseitig schneiden, etwa (B, B,) = b, (C,C,) =c, (D, Dy) =d, 
so wird die Kurve Lÿ die reellen Punkte b, c, d Eros und da ihr 
auch die Spitzen s,, & angehören, so gilt der Satz: 
Die imaginäre kubische Raumkurve kann (höchstens) fünf reelle Punkte 
besitzen. 
Dual kann man Lf als die Rückkehrkante einer imaginären ab- 
wickelbaren Umhüllungsfläche dritter Klasse 4/7 erhalten, deren erzeu- 
gende Ebenen zwei imaginäre Kegelschnitte dritter Art K,?, K,? berühren, 
welche, in zwei reellen Ebenen 6,, 6, liegend, ihre Schnittlinie 6, 6, = À 
zur Tangente haben. Die gemeinsamen Berührungsebenen der Kegelschnitte 
bilden einen Ebenenbüschel dritter Klasse 9” (nach Reye kubisches 
„Ebenengewinde“), umhüllen eine abwickelbare Fläche dritter Klasse 47, 
und sind zugleich Schmiegungsebenen der Kurve 2}. Die imaginäre 
Kurve K,? kann man z. B. durch A, drei weitere reelle Tangenten B,, C,, 
D, in der Ebene 6, und einem reellen passend gewählten !) Punkt ¢, be- 
stimmen; ebenso die Kurve K,? in der Ebene 6, durch reelle Tangenten 
A, B,, Cy, D, und einen reellen in geeigneter Lage angenommenen Punkt 2,. 
Nimmt man diese Tangenten so an, daß sie sich gegenseitig schneiden 
(auf der Geraden A), also in den Ebenen (B, B,) = B, (C, C2) = y, (D, D2) =9 
liegen, so werden auch die reellen Ebenen ß, y, 0 zu Schmiegungsebenen 
der Kurve 1; und da auch 6,, 6, ihre Schmiegungsebenen sind, sc folgt: 
achsen der Kurve haben komplexe Werte. Außerdem ist die affine Transformation 
dieses Kegelschnittes ‚zweiter Art‘; diese Kurve hat ein reelles Paar konjugierter 
Durchmesser, aber imaginäre Achsen; die Symmetrie der reellen Punkte und Tan- 
genten ist klinogonal, das eingeschriebene Rechteck und der umschriebene Rhombus 
gehen in Rhomboide über. 
Zu den imaginären Kegelschnitten ‚‚dritter Art‘ zähle ich solche, deren Mittel- 
punkt imaginär ist, welche jedoch ebenfalls, wie diejenigen zweiter Art, vier reelle 
Punkte und vier reelle Tangenten haben können. Von diesen acht reellen Elementen 
sind natürlich je drei von den übrigen fünf abhängig und können aus diesen reell 
konstruiert werden. Die Achsen dieser Kegelschnitte und sämtliche Durchmesser 
sind imaginär. Unter diesen Kurven kommen auch u. a. imaginäre Hyperbeln mit 
einer reellen und einer imaginären Asymptote, Parabeln mit einem imaginären 
unendlich fernen Punkte vor. Die imaginären Kegelschnitte ‚vierter Art endlich 
liegen in einer imaginären Ebene und können nur zwei reelle Punkte besitzen. So 
ist z. B. der Schnitt einer imaginären Ebene ¢ mit einer reellen Fläche II. Ordnung g? 
vierter Art; und schneidet die einzige reelle Gerade, die in der Ebene « liegt, die 
Fläche g? in zwei reellen Punkten, so gehören auch diese der Schnittkurve an. 
In analoger Weise werden auch die imaginären Flächen II. Ordnung ein- 
geteilt; insbesondere erhält man die imaginären Kegel durch zentrale Projektion 
der besprochenen imaginären Kurven II. Ordnung. 
1) ,, Über neue Arten von imag. Kegelschnitten‘, pag. 6 
