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mit der Ebene @ mit 723, 124... bezeichnen. Durch jeden dieser Punkte 
gehen drei Geraden und jede Gerade geht durch drei Punkte. Eine solche 
Konfiguration II kann man in der Ebene @ auch ohne das Fünfeck 7... 5 
zeichnen, wie folgt: wir nehmen zwei beliebige perspektive Dreiecke an 
(Fig. 1), z. B. 13, 14, 15 — und 23, 24, 25 (Zentrum 12); ihre Seiten, 
die Strahlen homologer Eckpunkte 723, 124, 125 und die Perspektivitäts- 
achse 245 (auf welcher sich die homologen Dreieckseiten schneiden) bilden 
den Schnitt IT (Hesse’sche Konfiguration). Denn das / 345 des Raum- 
fünfeckes wird aus den Eckpunkten 7 und 2 auf die Ebene @ wirklich 
in zwei perspektive Dreiecke projiziert. 
3. Die Ebene @ schneidet jede Kurve des Bündels & £3 in drei Punkten 
m, n, p (von welchen zwei konjugiert-imaginär sein können), deren Ver- 
bindungsgeraden mn=P, mp=N, np=M (Bisekanten der Kurve) 
ein Dreieck mn p bilden. Sämtliche diese Dreiecke sind Polardreiecke 
eines polaren Feldes !), dessen Inzidenz-Kegelschnitt AK? entweder reell 
oder imaginär ist?) Fällt p auf die Kurve A? (wenn sie reell ist), so wird 
seine Polare P (Fig. 1) zur Tangente von K? im Pole p, und die Polare M 
des Poles m zur Tangente der kubischen Raumkurve L? (wobin=p, 
N =P, das Polardreieck m n p artet in die Strecke mp aus). Es ist somit 
der Kegelschnitt A? der geometrische Ort der Berührungspunkte jener 
kubischen Raumkurven, welche durch die Punkte 7...45 gehen und die 
Ebene o berühren ; solcher Kurven gibt es #1. Jeder Punkt der Kurve A? 
bestimmt mit den Punkten 7...4 eine kubische Raumkurve, welche aus 
diesen sechs Punkten sofort konstruiert werden kann. — 
Wenn jedoch außerdem auch der Punkt m=), M =P, so wird @ 
zur Schmiegungsebene der Kurve L? im Punkte p, in welchem sich auch 
die Kurven Z/? und X? berühren (siche den Punkt x in Fig. 1). Zur Darstel- 
lung des Kegelschnittes X? ist es nicht nötig, einzelne Raumkurven des 
Bündels & 213 zu konstruieren. Wir benützen dazu mit Vorteil der aus- 
gearteten Kurven. Jede Kante des Raumfünfeckes, z. B. 12, bestimmt 
eine ausgeartete Kurve mit demjenigen Kegelschnitte, welcher durch die 
Grundpunkte 3, 4, 5 und durch den Schnittpunkt der Kante 72 mit der 
Ebene (345) geht. Solcher Kegelschnitte gibt es ein Kegelschnittbüschel, 
daher ©! Raumkurven, welche in eine Gerade und einen Kegelschnitt 
ausarten. Noch vorteilhafter sind jedoch diejenigen, welche je in drei 
Gerade zerfallen. Je zwei windschiefe Kanten des Fünfeckes, z. B. 12, 45, 
bilden mit ihrer Transversale, welche durch den fünften Eckpunkt 3 geht 
[Sehnittlinie der Ebenen (123) und (345)], eine in drei Gerade ausgeartete 
Kurve des Bündels 2 23. Das Bündel enthält nur fünfzehn solcher Dege- 
1) Reye, Geometrie der Lage, 4. Ausgabe, II. Teil, pag. 205. 
*) Der Bündel 3 Z3 gibt auf der Ebene o ©? Polardreiecke; diese füllen sonach 
nicht ein ganzes polares Feld aus, weil ein solches &® Polardreiecke enthält, mit 
anderen Worten: es ist nicht ein jedes Polardreieck des Kegelschnittes A? zugleich 
Schnitt der Ebene e mit einer Kurve des Bündels 2 La, 
Bulletin international. XIX, 12 
