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Kante 12, die Spurlinie B der Ebene (2 U) = (245), und auf ihr den Spur- 
punkt a = 45 der Tangente U. Ferner nehmen wir innerhalb des Polar- 
dreieckes abc den Punkt d = 14 = 15 als Spurpunkt der Kante 74 und 
seine Polare D außerhalb des Aabc an; dann ist der Schnittpunkt 
(A D) = 23 Spurpunkt der Tangente T, und (B D) = 24 = 25 = 34 = 35 
der Spurpunkt der Kante 24. Aus diesem Schnitte IZ, welcher ein ellipti- 
sches polares Feld und seinen imaginären Inzidenzkegelschnitt A* bestimmt, 
leiten wir die räumlichen Gebilde ab, wie folgt: Durch den Punkt 23 ziehen 
wir eine Gerade 7 (siehe die Vertikalprojektion in Fig. 3) außer der Ebene o 
in beliebiger Richtung, nehmen auf ihr einen Punkt 2=3 an, verbinden 
den Punkt 2 mit dem Spurpunkte 12 durch die Gerade E, denselben Punkt 2 
mit dem Spurpunkte 24 durch die Gerade F, und bestimmen die durch 
den Punkt 4 gehende Transversale G zu den windschiefen Geraden E, F. 
Die Gerade G schneidet F im Punkte 4 == 5 und die Gerade E im Punkte J; 
endlich verbinden wir a 4= U (das Fünfeck I... 5 ist nur in der Vertikal- 
projektion abgebildet). Die Gebilde 7...45, @ bestimmen eine imaginäre 
kubische Raumkurve /;?. Daraus folgt: 
Die imaginäre kubische Raumkurve kann zwei reelle Tangenten mit 
reellen Berührungspunkten, außerdem noch einen reellen Punkt und eine 
reelle Schmiegungsebene besitzen. 
6. Dual zum Absatz 2 bestimmen fünf beliebige reelle Ebenen J, II, 
III, IV, V, von denen keine vier durch einen und denselben Punkt gehen, 
æ? reelle Ebenenbündel III. Klasse (nach Reye ,,Gewinde‘‘), welche eine 
Schar-Schar 22" von abwickelbaren Flächen III. Klasse umhüllen ; 
die Rückkehrkanten dieser Flächen bilden eine Schar-Schar von kubischen 
Raumkurven 8 23, welche die gegebenen fünf Ebenen oskulieren. Diese 
nennen wir die Grundebenen der Schar-Schar; sie bilden ein vollständiges 
Fiinfflach. Die zehn Schnittlinien der Grundebenen sind Kanten, die 
zehn Schnittpunkte je dreier Ebenen Eckpunkte des Fünfflaches. Jeder 
Kante, z. B. IT T/T entspricht ein Gegeneckpunkt (J IV V). Aus einem 
beliebigen Punkte 7 im Raume, welcher in keiner Ebene des Fünfflaches 
liegt, werden die Kanten und Eckpunkte durch zehn Ebenen resp. zehn 
Strahlen projiziert. Dieses projizierende Gebilde bezeichnen wir mit I. 
Durch den Punkt 7 gehen drei Berührungsebenen u, v, x (von denen zwei 
imaginär sein können) zu jeder Fläche der Schar Schar & 4/1), welche 
ein Dreikant begrenzen. Seine Kanten uv=P, un=N, vx =M sind 
Bitangenten der Fläche 4” (oder auch Biplanaren des zugehörigen Ebenen- 
gewindes). Sämtliche diese Dreikante gehören als polare einem polaren 
Bündel 7 an, dessen Inzidenzkegel x* reell oder imaginär sein kann. Fällt 
ausnahmsweise die Gerade P auf den Kegel x? (Fig. 4), wenn er reell ist, 
so wird die Polarebene x den Kegel längs der Geraden P berühren, und 
die Polarebene u (welche der Polare M entspricht) zur Berührungsebene 
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1) Oder: durch den Punkt r gehen drei Schmiegungsebenen zu jeder kubischen 
Kurve der Schar-Schar & Li. 
