unbegrenzt der Null, so nähert sich für ein bestimmtes o der Ausdruck 
G (X, Y, Z) gleichfalls der Null, also die Mittelpunkte der Kugeln nähern 
sich der gegebenen Fläche unbegrenzt, da ja die Quadrate der Halbachsen 
von F die Werte 
a (1.4 920%), (1+ 82), all 020) 
annehmen. Es ist deshalb jede Kugelfläche, welche ihren Mittelpunk} 
auf einem gleichseitigen Hyperboloid hat, demselben harmonisch ein- 
geschrieben. Daraus folgt der hier zunächst für zentrische Flächen nach- 
gewiesene Satz: 
Die Hohen amer onto ze nEnis Chen De traders 
dire man einer g¢levchsertigen Ela che 2 Nord 
einschreiben kann, schneiden sich in einem Punkte 
diierstey gh) arc hive: 
Spezialisieren wir diesen Satz für die Ebene, so erhalten wir den 
bekannten Satz, daB die Héhenschnittpunkte des einer gleichseitigen 
Hyperbel eingeschriebenen Dreieckes dieser Hyperbel selbst angehören. 
Für ein gleichseitiges Paraboloid ist ~ + = =0, also m+n—0; 
dasselbe kann somit nur hyperbolisch sein, und die Eigenschaft, daß 
für irgend einen auf der Fläche nicht gelegenen Punkt 9 = w ist besagt, 
daß die Richtebenen derselben zu einander orthogonal sind und daß 
es unendlich viele Tripel von Geraden der Fläche gibt, die zu einander 
normal sind; eine Gerade eines solchen Tripels ist jedesmal die eine oder 
die andere Scheitelgerade des Paraboloids. 
Der soeben für zentrische gleichseitige Flächen abgeleitete Satz 
gilt auch für gleichseitige Paraboloide, wie durch einen analogen Vorgang 
gezeigt werden kann. 
FIT. 
19. Wenden wir nun die Formeln (IV’) und die folgenden auf ein 
allgemeines kartesisches Koordinatensystem an. Wir wählen da wieder A, 
als Koordinatenanfang und somit A, als die unendlich ferne Ebene, 
bezeichnen den Mittelpunkt der Fläche wieder mit S, den Pol der ge- 
gebenen Ebene P (w’, v’, w’) mit L, den Schnittpunkt von P mit LS 
durch P, mit OS durch H und mit OL durch K, wobei also P, K, H 
auf einer Geraden liegen. 
Weiter wissen wir, daß die Gleichung der Fläche 
a,0@+..+ 2a oxy +..+2a4x+.. +a, = I 
in Ebenenkoordinaten geschrieben werden kann 
F (u, v, w) = Ay # + A3 0 + Az, w? + 2 An 4 0 +2A,00 
+2A,0wu+2Ayu+2Ayvu+2A,w+ Ay = 0, 
