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also durch die einzelnen Paare dieser Involution und, da sie ihre Mittel- 
punkte auf der Geraden x haben, so bilden sie einen Büschel; seine 
Potenzgerade wollen wir mit 7 bezeichnen. 
Wir haben also das Ergebnis: 
Zu vier Zykeln kann man einen isogonalen Kreis konstruieren; ändern 
wir die Halbmesser dieser Zykel proportional, ihre Mittelpunkte beibehaltend, 
so durchläuft der erwähnte Kreis einen Kreisbüschel. 
Jeden Zykel w, können wir als Spurkreis eines rechtwinkeligen 
Hyperboloids H; auffassen, dessen Achse normal zur Bildebene ist und 
welches durch die vier Punkte 4,, 4,0, 4,4, 4,0 geht, deren Abbildungen 
die Zykel k,®, k., k,®, k,® mit den Halbmessern 47, Ar,, 473, Ar, für 
den jeweiligen Wert von A sind, da ja w, diese vier Zykel unter gleichen 
Winkeln schneidet. Bilden wir diese Fläche inbezug auf die Bildebene 
orthogonal affin ab, so daß die Punkte A,®, 4,9, A,®, A, in die Punkte 
A,, A», As, A, übergehen, dann geht H; in eine Rotationsfläche H,* über. 
Dabei sind beide Flächen H;, H,* gleichartig, d. h. beide einteilig oder 
beide zweiteilig, wenn 4 reell ist, ungleichartig aber, d. h. eine von ihnen 
ist einteilig, die andere zweiteilig, wenn A imaginär ist. Alle deartigen 
Flächen H,* bilden einen Büschel (H;*), da sie durch die Punkte A,,... A, 
gehen und den unendlich fernen Kreis in dessen Schnittpunkten mit der 
Bildebene berühren. Die Normalebene N durch x zu M ist gemeinsame 
Hauptebene für alle Flächen dieses Büschels. 
Von diesen Flächen heben wir insbesondere hervor: 
1. Die Zylinderfläche H,*, deren Geraden parallel zu 7 sind; hier 
ist 1 =. 
2. Das Rotationsparaboloid H,*, für welches 4 = 0 ist; die Kreise 
09, 09 sind die Orthogonalprojektionen von Kegelschnitten e,, e,, in welchen 
die Ebenen A, A, A,, A3 A, A, das Paraboloid schneiden ; die Normalebene 
zu der Spurgeraden g von A, A, À, durch den Mittelpunkt M, von o, ist 
eine Symmetrieebene von H,* und die Normalebene zu g’ durch den Mittel- 
punkt My, von o, ist eine zweite solche Ebene; beide schneiden sich also 
in der Achse dieses Paraboloids. Der Spurpunkt dieser Achse in M ist 
deshalb der auf x liegende Punkt, in welchem sich die Senkrechten von M, 
auf g und von My, auf g’ schneiden. 
3. Das Hyperboloid H,*, welches seinen Mittelpunkt in der Bild- 
ebene M hat. Nämlich der Schnittpunkt der Zentralen beider Büschel 
(03), (1°) ist Mittelpunkt eines Kreises o,, der mit dem zugehörigen Kreiso 0,’ 
zusammenfällt und alle vier Zykel R,®,.., k,®, die dem betreffenden 
Wert von A entsprechen, orthogonal schneidet, weshalb er auch ein 
Kreis des Büschels (w,) ist. Es geht also die Gerade x auch durch 
den Schnittpunkt der Zentralen von (o,) und (0;’) ; die zugehörige Fläche H, 
ist ein rechtwinkeliges Hyperboloid, welches seinen Mittelpunkt in M hat, 
weshalb auch H,* inbezug auf die Ebene M symmetrisch ist. 
