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möglichen Werte durchlaufen lassen, gemeinschaftlich. Die Normale gà 
durch S, zu G ist der geometrische Ort der Mittelpunkte solcher Sphären, 
welche K,®, .., K, unter gleichen Winkeln schneiden und von denen 
wir wissen, daß sie einen Kugelbüschel bilden. Die Geraden g, erfüllen 
die durch a, zu G normal gelegte Ebene Q,. 
Betrachten wir das Quadrupel K,® K,® K,® K,®, so gelangen wir 
durch gleichen Vorgang zu einer Geraden a;’, welche der geometrische 
“ Ort von Mittelpunkten S;’ der Orthogonalkugeln M,’ für die Quadrupel 
K,® K,® K,® K,® ist. Die Gerade a,’ geht also durch den Mittelpunkt Sy’ 
der Kugel M,’, welche dem Tetraeder M, M, M, M; umgeschrieben ist 
und steht senkrecht auf der Ähnlichkeitsebene H’ der Sphären K,’, K,’, 
K,’, K,’, welche mit K,, K,, K,, K, konzentrisch sind und deren Radien 
in dem Verhältnis 7,2 : 7,2 : 7,2 : r,° stehen. Die Orthogonalkugeln M,’ bilden 
wieder einen Biischel, welcher durch die Elemente M,’, H’ festgelegt ist. 
Die Geraden aj, ax schneiden sich in einem Punkte S; denn beide 
schneiden die in M, zu M, M, M, errichtete Normale #, und sind senkrecht 
zu der Geraden 4; sie liegen also in der Ebene, welche durch #, zu » normal 
gestellt werden kann. Der Punkt S ist nun der Mittelpunkt einer Kugel, 
welche für den ihm entsprechenden Wert von A die Orthogonalkugel zu 
allen fünf Sphären K,®, K,®, K,®, K,®, K,@ ist. 
Jede Normale q,’ von S,’ auf G’ ist der geometrische Ort von Mittel- 
punkten solcher Kugeln, welche die Sphären des entsprechenden Qua- 
drupels K,% K,® K,® K,® unter gleichen Winkeln schneiden und einen 
Büschel bilden, welcher durch G’ und M,’ festgelegt ist. Die Geraden q7' 
erfüllen die durch a,’ zu G’ normalgelegte Ebene Q,’. Die demselben Wert 
von À entsprechenden Geraden g, q,’ schneiden sich, da sie in einer zu 
der Ähnlichkeitsachse g von K,, K, und Kgs normalen Ebene liegen, in 
einem Punkte 7;, welcher Mittelpunkt einer Kugel W, ist, welche die 
fünf, dem zugehörigen Wert A entsprechenden Sphären K,,..., KW 
unter gleichen Winkeln schneidet. Die Punkte 7, bilden eine gerade 
Punktreihe, deren Träger die Schnittgerade x der Ebenen O,, Q,’ ist. 
12. Die Gerade x erhalten wir am einfachsten, wenn wir von M, 
die Senkrechte a; auf H und von M die Senkrechte a,’ auf H’, weiter 
von M, die Senkrechte g, auf G und von My die Senkrechte g, aui G’ 
fallen; die Gerade x verbindet alsdann die Punkte a. aj’, gy. qo mit- 
einander. 
Jede Kugel W, geht durch den Schnitt von G mit M; und hat ihren 
Mittelpunkt auf x. Da nun, wenn der Wert von A sich ändert, die Kugel M; 
einen Kugelbüschel, also der Schnitt derselben mit G einen Kreisbüschel 
beschreibt, so bilden die Kugeln W,, welche durch diesen Kreisbüschel 
gelegt werden und ihre Mittelpunkte auf x haben, gleichfalls einen 
Biischel (W;). 
Wir können somit den Satz aussprechen: 
Zu fünf Sphären läßt sich eine isogonale Kugel konstruieren , verändern 
