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I. Die Kurve mit sieben Doppelpunkten. 
A) Hilfssatze. 
1. Man sieht leicht die Geltung des folgenden Satzes ein: Ein Punkt 
ist Doppelpunkt für eine durch projektive Büschel erzeugte Kurve, wenn er 
zur Basis eines dieser Büschel gehört und wenn der diesen Punkt enthaltenden 
Kurve des zweiten Büschels im ersten eine Kurve entspricht, welche daselbst 
einen Doppelpunkt hat. 
2. Wenn sieben gemeinsame Punkte A, ...,4, von zwei kubi- 
schen Kurven 4,3, K,? bekannt sind, so kann man auf Grund des Rest- 
satzes die Verbindungslinie der beiden übrigen Schnittpunkte As, Ag 
linear konstruieren, indem nämlich der mit der Punktgruppe 4,,..., A? 
korresiduale Punkt A® auf K,3, sowie der analoge Punkt A® auf K,? 
bestimmt wird, was auf bekannte Weise linear geschieht. Die Verbindungs- 
linie AU 48 ist die gesuchte Gerade. 
Sind auf der einen Kurve, z. B. X}?, drei Punkte B,, B,, B, gegeben, 
so wird der durch die Punkte B,, By, Bz, As, Ag bestimmte Kegelschnitt 
ebenfalls linear konstruiert: man konstruiere zuerst den Punkt B,, so 
daß die Gruppe B,,..., B, mit AU korresidual ist. Der Kegelschnitt- 
büschel (B,,..., B,) ist zu dem Strahlenbüschel (A) projektiv und 
erzeugt mit demselben die Kurve K,?. Der in dieser Projektivitat dem 
Strahle A, Ay entsprechende Kegelschnitt liefert die Lösung der Aufgabe. 
3. Eine hyperelliptische Kurve sechster Ordnung mit sieben Doppel- 
punkten A,,..., A, wird von zwei projektiven Büscheln von Kurven 
dritter Ordnung erzeugt, die sieben feste Punkte gemein haben. Das auf 
dieser Kurve bestehende lineare Punktsystem g,! besteht demnach aus 
Punktepaaren der bekannten Geiser’schen Verwandtschaft.?2) Eine solche 
Kurve ist durch ihre sieben Doppelpunkte und weitere fünf einfache 
Punkte 1, 2, 3, 4, 5 — von denen keine zwei in der Geiser’schen Verwandt- 
schaft einander angehören — eindeutig bestimmt und wird durch zwei 
Büschel von kubischen Kurven erzeugt, die durch die Punkte 4,, 1, 
resp. As, 2 bestimmt und projektiv aufeinander bezogen sind, so daß 
entsprechende Kurven beider Büschel sich in den Punkten 3, 4, 5 be- 
gegnen. 
4. Es folgt aus dem Vorgesagten: 
a) Wenn drei von den Punkten 1,..., 5 mit den Punkten A; auf 
einer kubischen Kurve liegen, so bildet diese Kurve mit der durch die 
Punkte A; und die beiden übrigen Punkte bestimmten kubischen Kurve 
die einzige durch die Punkte 4;,1,..., 5 bestimmte — im weiteren Sinne — 
hyperelliptische Kurve K,'°. 
b) Durch sieben Doppelpunkte und fünf einfache Punkte ist ein 
Kurvenbüschel sechster Ordnung bestimmt; eine einzige dieser 
2) S. R. Sturm: Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften IV. S. 96. 
