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Kurven, von denen KW die eine wäre. Es liegen also wenigstens zwei dieser 
Punkte außerhalb K@®; wir nehmen an, einer von ihnen sei der Punkt 2. 
12. Man führe nun folgende Konstruktion durch: die Punkte A,, 
A» Az, Ay, As, Ag, B,™, By") bestimmen einen Büschel von kubischen 
Kurven; zu diesem Büschel gehört auch die Kurve R.. Desgleichen enthält 
der durch die Punkte A,, A,, Ay, As, Ag, Az, Bi”, BX bestimmte Kurven- 
büschel die Kurve R,. Wir beziehen beide Büschel aufeinander projektiv 
auf solche Weise, daß sich entsprechen: die Kurven R,, R;, und die je durch 
den Punkt 1 und 2 bestimmten Kurven. Die auf diese Weise projektiv 
bezogenen Büschel erzeugen eine Kurve sechster Ordnung, die — nach 
dem Früheren — alle Punkte À; als Doppelpunkte besitzen wird und 
außerdem die einfachen Punkte 1, 2, B,®, BLY, Bi, BL enthält. Nun 
läßt es sich beweisen, daß durch diese Doppel- und einfachen Punkte eine 
einzige Kurve sechster Ordnung bestimmt ist. Denn wäre dies nicht der Fall, 
so würden sie (mindestens) einen Büschel bestimmen und jede Kurve 
des Büschels wäre durch (mindestens) einen weiteren Punkt bestimmt. 
Man nehme einen beliebigen Punkt auf R,; die durch diesen Punkt be- 
stimmte Kurve des Büschels hätte mit R, neunzehn Punkte gemein und 
würde also aus R, und einer weiteren kubischen Kurve bestehen. Nun 
sieht man leicht ein, daß keiner von den Punkten 1, 2, B,”, B," auf R, 
liegen kann, da sonst die durch die Punkte A,; 1, ..., 6 bestimmte K,$ 
zerfallen würde. Es müßten also die Punkte 1, 2, B,, B,® samt den 
Punkten A,, ...., A, auf einer Kurve dritter Ordnung liegen; das ist 
jedoch gemäß der obigen Bemerkung über die Kurve AU unmöglich. 
Da also durch die Punkte A, ; 1, 2, B,®, B®, Bm, B,M eine einzige 
K,® bestimmt ist und diese Punkte auf der einzigen durch die Punkte 44; 
1, ..., 6 bestimmten Kurve liegen, so ist im Vorhergehenden die Aufgabe 
gelöst, die durch sieben Doppelpunkte und sechs einfache Punkte bestimmte 
Kurve sechster Ordnung zu konstrwieren. 
13. Es sei nur hingewiesen auf die Möglichkeit die obigen Betrach- 
tungen für die Fälle zu spezialisieren, wo zwei von den Punkten 1, ..., 6 
miteinander, oder einer von diesen Punkten mit einem Punkte 4, zu- 
sammenfiele. 
II. Die Kurve mit acht Doppelpunkten. 
A) Hilfssätze. 
14. Acht Punkte A,, ..., As bestimmen einen Büschel kubischer 
Kurven; ich bezeichne mit 5, den neunten gemeinsamen Schnittpunkt 
dieser Kurven. Der Ort der Tangentialpunkte des Punktes By auf den Kurven 
dieses Büschels ist eine rationale Kurve vierter Ordnung R#, welche den drei- 
fachen Punkt By besitzt.) Diese Kurve geht einfach durch die Punkte 44. 
3) S. K. Rohn: ‚Die Maximalzahl und Anordnung etc.‘ Math. Ann, 73. S. 183. 
