320 
Die Kurve K* ist durch die Punkte A,; By bestimmt und kann entweder 
direkt konstruiert werden, oder besser nach Überführung in einen Kegel- 
schnitt, was am bequemsten durch zwei aufeinander folgende quadratische 
Transformationen geschieht. 
15. Wird die Punktreihe auf einer rationalen Kurve vierter Ordnung R4 
projektiv einer geraden Punktreihe p zugeordnet, so umhüllen die Ver- 
bindungslinien der entsprechenden Punkte eine Kurve fünfter 
Klasse, welche die vierfache Tangente p besitzt. Man überzeugt sich 
leicht, daß die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß diese 
Kurve in eine Kurve dritter Klasse übergehe, darin bestehen, daß zwei von den 
vier Schnittpunkten von p mit R* in der obigen Projektivität je sich selbst ent- 
sprechen. Die durch die Projektivität in diesem Falle entstehende Kurve 
dritter Klasse hat p zu einer Doppeltangente. 
16. Man wähle auf einer Kurve vierter Ordnung R* mit dem drei- 
fachen Punkte M drei Punkte A, B,, B,; außerdem zwei Punkte C,, C,, 
die der Kurve nicht angehören und deren Verbindungslinie den Punkt A 
enthält. Die Punkte M, A, B,, C, bestimmen den Kegelschnittbüschel [Sj], - 
die Punkte M, A, B,, C, den Kegelschnittbiischel [S,]. Beide Büschel 
erzeugen auf R* kubische Involutionen. Durch einen Punkt der: Kurve 
geht je ein Kegelschnitt dieser Büschel; beide Kegelschnitte schneiden 
einander noch in einem Punkte, der im Allgemeinen auf R* nicht liegt. 
Wir wollen diejenigen Kegelschnittpaare von dieser Art bestimmen, deren 
beide Schnittpunkte (außer M, A) auf R* liegen. M. a. W.: diejenigen Punkte- 
tripel beider Involutionen bestimmen, die zwei Elemente gemein haben. 
Diese Aufgabe besitzt vier Lösungen; drei davon sind jedoch in unserem 
Falle im voraus bekannt. Denn der durch den Punkt C, bestimmte Kegel- 
schnitt des Büschels [S,] zerfällt in die Geraden AC, (=AC,) und MB,; 
der denselben Punkt enthaltende Kegelschnitt des Büschels [S,] zerfällt 
in die Geraden AC,(=AC,) und MB,. Beide schneiden also R, in dem- 
selben Punktetripel, welches für drei Punktepaare gilt und also drei Lö- 
sungen der obigen Aufgabe liefert. Es bleibt also nur noch ein Paar wirk- 
licher Kegelschnitte übrig, die sich in zwei Punkten der R®* schneiden. 
Um es zu konstruieren, wenden wir auf die Kurve R? eine involutorische 
quadratische Transformation 7, mit den Hauptpunkten M, B,, B, an, 
durch welche diese Kurve in eine kubische Kurve R® mit dem Doppel- 
punkte M übergeht, welche die Punkte B,, B, nicht enthält. Hiedurch 
geht [S,] in den Kegelschnittbüschel [S,/] durch die Punkte M, A’, By, Cy’ 
über; [S,] in den Kegelschnittbüschel [S,’] durch die Punkte M, A’, B,, C,’ 
(A’ ist der transformierte Punkt A, usw.). Der Strahl AC, = 4 C, geht 
in einen beiden Büscheln gemeinsamen Kegelschnitt über. Wir führen 
dann eine ähnliche Transformation 7, mit den Hauptpunkten M, 4’, D 
durch, wo D irgend einen Punkt auf R3 bedeutet. Hiedurch wird R? in 
einen den Punkt M enthaltenden Kegelschnitt R? transformiert; die 
Büschel [S,’], [S,’] gehen über in Kegelschnittbüschel [S,’’], [S,”], die 
ee 
