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zx berührt wird. Infolgedessen gehören ihm die Geraden 3 3’, X X’, YY)’ 
an und es ist deshalb (X’Q)’ 87) = (X Ÿ 3). 
3. Der Ort von Punkten, durch welche man Gruppen von je drei zu- 
einander normalen Ebenen an ein Paraboloid legen kann, ist die soge- 
nannte Mongesche Ebene des Paraboloids. Wir sehen also, daß O in der 
Mongeschen Ebene M von U liegt. 
Durch # gehen zwei zueinander senkrechte Ebenen P,, P,, welche 
inbezug auf U konjugiert sind; sie mögen g in den Punkten Q,, O, treffen. 
Der Punkt ©, ist der Pol von P,, der Punkt Q, von P,. Die Geraden 1, 15 
durch die Punkte Q,, Q3, welche p unter rechten Winkeln in G, resp. G, 
schneiden, gehören auch dem Paraboloid U an; denn #, ist zu P, und n, 
zu P, normalkonjugiert. Die Ebenen P,, P, sind zwei zueinander senk- 
rechte Berührungsebenen von U, da die erste #,, die zweite z, enthält. 
Wir können somit durch G, drei zueinander normale Ebenen legen, welche U 
berühren, nämlich P,, P, und die zu dieser senkrechte durch #, gehende 
Ebene. Es liegt deshalb der Punkt G, in M und aus gleichen Gründen 
liegt G, in M. 
Daraus schließen wir, daß (O p) die Mongesche Ebene von U ist. 
Die Achse von U ist deshalb senkrecht zur Ebene (Op), was ja auch 
daraus folgt, daß beide Richtebenen von U senkrecht auf (O p) stehen. 
Daß die Ebenen x y, vz, zx die Fläche U berühren, sieht man auch 
daraus, daß die Polarebene des Schnittpunktes von g mit irgend einer 
von ihnen zu ihr normal ist, also die Senkrechte von diesem Schnittpunkte 
auf die Polarebene in der betreffenden Hauptebene liegt. 
Die Geraden » von U in den Hauptebenen xy, yz, zx erhalten 
wir auch als die Schnittgeraden dieser Ebenen mit den durch die Schnitt- 
punkte von g mit ihnen gelegten Normalebenen zu 2. 
Ist p eine Gerade des Achsenkomplexes, so ist die Gerade q zu p 
normal und ist gleichfalls eine Gerade dieses Komplexes; dann geht das 
Paraboloid U in eine Parabel « über, nämlich in die Parabel, welche von 
den Komplexgeraden eingehüllt wird, die in der durch g gehenden Normal- 
ebene zu p liegen. Wir können also die Komplexparabeln auch als Stei- 
nersche Parabeln bezeichnen. 
Ist speziell p eine Tangente von R, die also diese Fläche in einem 
Punkte 7 berührt, so ist g die zu p konjugierte gleichfalls in 7 berührende 
Tangente. Die Ebenen P,, P, gehen über in die Tangentialebene (p g) und 
in die durch p zu ihr gehende Normalebene V. Wir sehen, daß (fq) das 
Paraboloid U in dem Pol V der Ebene V inbezug auf R berührt. Dieser 
Pol V liegt auf g und die zweite durch ihn gehende Gerade von U in (pq) 
ist senkrecht auf p. 
Sind speziell # und g die Achsen der Indikatrix für einen Punkt T 
auf R, n die Normale in T an R, so ist (gx) die Ebene von x. Die Ebene 
n) schneidet also aus x Vs Me ein Tangentendreieck der Parabel # 
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