338 
rabel #, für den Punkt P inbezug auf den Normalschnitt in N,PN hat 
außer N,P, NP und N,N noch die Geraden zu Tangenten, in denen 
die Ebene N, PN die Hauptebenen xy und yz schneidet. Die Projek- 
tion u,’ dieser Parabel berührt also N,P’, NP’, x, z und N N,. Der Höhen- 
schnittpunkt des Tangentendreiecks N, N P’ von u’ ist Ng; folglich ist 
ON, die Leitgerade von u,’, was auch daraus folgt, daß die Achse von ı, 
senkrecht ist auf der Ebene OP N,, ihre Projektion also senkrecht zur 
Spur ON, dieser Ebene; diese Projektion gibt die Richtung der Achse 
von u,’ an. Schneidet also P’ N die Geraden x, zin den Punkten N’, N,’ 
und die in O errichtete Senkrechte zu ON, in 7, und macht man auch 
dem Sinne nach N’M, = 4, N;, so ist M,’ als Berührungspunkt von - 
P’N mt u,’ die Orthogonalprojektion des Hauptkrümmungsmittelpunktes 
M,. Analog errichten wir in O die Senkrechte zu O N,, welche P’ N, in z, 
treffen möge und machen N? My’ = r, N-’, wodurch wir die Projektion M,” 
des zweiten Hauptkrümmungsmittelpunktes erhalten. 
Sehr einfach erhalten wir M,’ und My’ mit Hilfe von Brianchonschen 
Sechsseiten. So sind z. B. für wu,’ die Gerade P’ N,, die unendlich ferne 
Gerade der Projektionsebene xz, die Achsen x, z und die Gerade P’ N 
fünf Tangenten; bezeichnen wir sie hier der Reihe nach mit 1, 2, 3, 4, 5 
und die zu 5 unendlich benachbarte Tangente mit 6. Aus dem Sechsseit 
123456 folgt, daß man nur durch den Schnittpunkt von n’ mit y’ die 
Parallele zu P’N, und durch deren Schnitt mit P’O die Parallele zu x 
zu ziehen hat, um im Schnitt der letzteren mit n’ den Punkt M,’ zu 
erhalten. Analog erhalten wir M,’, indem wir etwa durch den Punkt 
y’.n’ die Parallele zu P’N, bis zum Schnitt mit P’O und von da die 
Parallele zu x ziehen. Die zuletzt erwähnte Gerade trifft n’ in My. 
8. Die früher entwickelte Konstruktion des Kriimmungsmittelpunktes M 
für irgend einen Normalschnitt einer Fläche 2. Ordnung im Punkte P der- 
selben läßt sich gleichfalls sehr einfach durchführen, wenn wir (Fig. 2) 
eine Orthogonalprojektion in eine der Hauptebenen der Fläche voraus- 
setzen. Wir projizieren z. B. wieder in die Ebene x z. Die Ebene des Normal- 
schnittes s treffe die Spur T:T; im Punkte L,, welchem in der auf T: Tz 
beobachteten Involution der Punkt L, entsprechen möge, so daß PL, die 
Polare von PL, ist. 
Die zu den Polarebenen der Punkte auf P L, normalkonjugierten, 
Strahlen bilden ein hyperbolisches Paraboloid U,, welchem die Normale » 
angehört und für welches der Berührungspunkt der durch # gehenden 
Normalebene M zu P L, der gesuchte Punkt M ist. Diese Ebene M enthält 
außer x noch die Gerade p der Fläche U,, welche # im fraglichen Punkte M 
schneidet. Es wird also M’ als Schnitt von 2’ mit n’ erhalten. Die Pro- 
jektionen aller Geraden auf U, in die Ebene x z hüllen eine Parabel U,’ 
ein, welche x und y’ berührt, weil xz und yz Berührungsebenen von U, 
sind. Ferner wird U,’ von P’L, und n’ berührt, weil P L, und # auf U - 
liegen. 
