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Die Polarebene von L, inbezug auf die gegebene Fläche 2. Ordnung 
ist orthogonalprojizierend in die Ebene xz, folglich ist die Senkrechte /, 
von L, auf P’ L, eine in xz liegende Gerade von U, und somit auch eine 
Tangente von U,’. Die Spur m der Ebene M in x z geht durch den Spur- 
punkt N von # und ist senkrecht auf P’L, weil M1 PJ, ist. Dabei 
ist N der Höhenschnitt des Dreieckes N,N,;P’. Der Schnittpunkt H 
von 2, mit m gehört der Geraden p an; diese ist ja ein Teilschnitt von U, 
mit M; es ist also H der Spurpunkt von p, gehört somit auch der Ge- 
raden p’ an. Deshalb ist p’ die durch H gehende von /, verschiedene Tan- 
gente an U,’ und kann somit linear konstruiert werden. Wir kennen 
von U,’ die Tangenten x, z, n’, P’ L,, !, und die unendlich ferne Gerade g 
von x z, wir können also die Gerade p’ auf mannigfache Weise bekommen ; 
benützen wir etwa das Sechsseit D’ 7, x zg n”, so haben wir die Parallele 
durch H zu z mit der Parallelen zu »’ durch den Schnitt von /, mit x 
zum Schnitte zu bringen, alsdann wird n’ von der Verbindungsgeraden 
des erhaltenen Schnittpunktes mit O im Punkte M’ geschnitten. Der 
Punkt Z, ist der Höhenschnitt des Dreieckes, welches von dem Tangenten- 
dreiseit (#’, Z,, P’ L,) der Parabel U,’ gebildet wird. Folglich liegt L, auf 
der Leitgeraden von U,’, was auch daraus folgt, daß die Senkrechten zu 
der Ebene P 1,0, welche O Z, zur Spur hat, sich in Geraden projizieren, 
welche zu der Achse von U,’ parallel sind. Die Projektionen der durch n’ 
und /, abgeschnittenen Strecken auf den Tangenten von U,’ auf OL, 
sind somit einander gleich. Schneiden also z. B. die Senkrechten von Ly 
und À auf OL, die Gerade n’ in den Punkten J und ZI, so ist auch dem 
Sinne mache 7. M2— IP’: 
Wir können da auch zu den Resultaten gelangen, welche A. Mann- 
heim seinerzeit!) abgeleitet hat, deren Begründung sich bei ihm auf einige 
bekannte Eigenschaften des Achsenkomplexes stützt; die hier gegebenen 
Konstruktionen sind aber noch einfacher. 
9. Es soll noch die Fläche U dazu benützt werden, die Achsen 
einer zentrischen Fläche 2. Ordnung zu Konstruieren. 
Wir setzen voraus, es seien $ und g zueinander polar inbezug auf 
die Fläche R und es seien auch die Involutionen der konjugierten Ebenen 
inbezug auf die Fläche in den Ebenenbüscheln, deren Achsen 5 und g 
sind, sowie der Mittelpunkt O der Fläche bekannt. 
Die normalkonjugierten Geraden der Ebenen durch # bilden ein 
hyperbolisches Paraboloid U, welches sich auf g stützt und die normal- 
konjugierten Geraden der Ebenen durch g bilden ein zweites hyperbolisches 
Paraboloid U*, welches sich auf p stützt. Durch O läßt sich eine Trans- 
versale o der Geraden p, g ziehen, welche jene in P diese in Q treffen möge. 
Die Polare 0* von o inbezug auf R ist die unendlich ferne Gerade der zu 0 
1) Sur la determination, en un point d’une surface du second ordre, des axes 
de l’indicatrix et des rayons de courbure principaux. — Journal de mathematiques 
pures et appliquees. T. VIII. 1882. 
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