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orthogonal auf diese Achse in eine Strecke P, R,, welche gleich ist dem 
Parameter von #,. Projizieren wir orthogonal in die Ebene x y, so proji- 
ziert sich die Normale #, welche man von P auf die Berührungsebene 
von R im Punkte R fällt, in eine zu P, R, parallele Gerade. Daraus folgt, 
daß das zwischen P und x z enthaltene Stück von n sich orthogonal auf x 
in eine Strecke projiziert, welche gleich ist dem Parameter des in x y 
liegenden Hauptschnittes von R. Es projiziert sich also, da n normal- 
konjugiert ist zu der Polarebene von P, das zwischen den Ebenen x y, 
xz enthaltene Stück einer jeden Geraden des Achsenkomplexes eines 
Paraboloids orthogonal auf die Achse x in eine Strecke, welche gleich der 
doppelten Entfernung der Brennpunkte der in xz und xv, liegenden 
Hauptschnitte von R ist.!) 
Es sei F, der Brennpunkt der Hauptschnittparabel von R in der 
Ebene xy und F, der Brennpunkt der Hauptschnittparabel in xz. Aus 
der soeben bemerkten Eigenschaft unseres speziellen Achsenkomplexes 
ergibt sich, wenn az die Spur irgend einer Ebene A in xy und arr in xz 
ist, daß sich die in A ligende Parabel w, welche von den Komplexstrahlen # 
eingehüllt wird, nach (x z) orthogonal in eine Parabel w’ projiziert, welche x 
zur Scheiteltangente hat, und deren durch az und x begrenzte Tangenten- 
strecken sich auf x orthogonal in Strecken projizieren, welche alle die 
Länge 2.F,F, haben. Ist also A; der Schnitt von A mit x und macht 
man A; v = 2 F, F,, so ist v der Scheitel von u’. Analog ist die Orthogonal- 
projektion von # in die Ebene x y eine Parabel u”, welche x gleichfalls 
zur Scheiteltangente besitzt und deren durch ar und x begrenzte Tan- 
gentenstrecken sich auf x orthogonal in Strecken projizieren, welche alle 
die Länge 2.F,F, haben; macht man also A: p =2.F,F,, so ist w der 
Scheitel von w’’. 
Die Konstruktionen, welche wir für eine zentrische Fläche hier 
entwickelt haben, vereinfachen sich hiedurch ein wenig. Um dies zu zeigen, 
wollen wir hier (Fig. 4) die Hauptkrümmungsmittelpunkte M,, M, für 
einen Punkt P, sowie den Krümmungsmittelpunkt irgend eines Normal- 
schnittes durch P zur Darstellung bringen. Es schneide die Spur arr 
der Berührungsebene A in P die Normalebene durch P zu x in A, 
und die Parallele durch P’ zu x in 1, und P sei die Lage von P, 
in welche dieser Punkt bei einer Umklappung der Ebene A in die 
Ebene xz gelangt. Die Senkrechte in 1 treffe den über A: A, als Durch- 
messer geschlagenen Kreis im Punkte 7,, alsdann trifft der durch 7,, 
P gelegte Kreis mit dem Mittelpunkt auf az diese Gerade in den 
früher mit N,, N, bezeichneten Punkten und M,’ ist der Berührungs- 
punkt von »’ mit der Parabel, welche nebst 1’ noch N, P’, N, N berührt, 
außerdem x zur Scheiteltangente und die durch N, zu x gezogene Pa- 
. rallele x, zur Leitgeraden hat. Wir können also die Projektion M,’ des 
1) Vergl.: Reye, Die Geometrie d. Lage, II. Abt. 4. Aufl. S. 221. 
