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die Achse O in c, d; die Verbindungsgeraden ea, eb, ec, ed sind die 
gesuchten Normalen. Schneidet eine von den Achsen O, O’ die Kurve K 
nicht, so erhält man nur zwei reelle Normalen. 
Wenn © oder O’ nur einen sehr kurzen Bogen von K abschneidet, 
so sind die Schnittpunkte ungenau ; man bekommt sie genauer als Doppel- 
punkte der Involution harmonischer Pole, welche auf O die Kurve K 
bildet; zwei ihrer Punktepaare erhalten wir leicht auch dann, wenn X 
nicht verzeichnet ist. Oder benützen wir andere Kollineationsachsen, 
z. B. yad, ybc. 
Wenn K eine Parabel ist, so könnte zwar diese Methode auch ange- 
wendet werden; aber es ist bekannt, daß die Fußpunkte a, b, c der drei!) 
hier möglichen Normalen (aus dem Punkte e) mit dem Scheitel der Pa- 
rabel v auf einem Kreise L liegen, dessen Mittelpunkt leicht ermittelt 
werden kann (Joachimsthal). 
Diese Konstiuktion hat freilich denselben Nachteil, daB zwei von 
den Schnittpunkten der Kurven X und Z sehr ungenau ausfallen können, 
z. B. a, b (wenn der Punkt e innerhalb und unweit der Evolute der Parabel 
gegeben ist); es dürfte sich demnach auch in diesem Falle empfehlen, 
zwei konjugierte Kollineationsachsen ac, vb der Kurven mittels des 
gemeinsamen Polardreiecks zu konstruieren, deren Schnittpunkte mit dem 
Kreise Z mit den Fußpunkten der gesuchten Normalen identisch sind. 
Ist der Punkt e auf einer Achse M der Ellipse oder Hyperbel X 
gegeben, so zerfällt die Apollonische Hyperbel H in zwei Gerade M 
und N | M. Es genügt also einen Punkt g der Geraden N zu bestimmen, 
indem wir zwei konjugierte Durchmesser E, F der Kurve X zeichnen, 
fällen aus e das Lot Z_LE und suchen den Schnittpunkt (LF) =g. 
Durch g ziehen wir N | M, bestimmen die Schnittpunkte a, b der Ge- 
raden N mit dem Kegelschnitte K, und verbinden ea, eb. Hiemit sind 
zwei Normalen der Kurve K konstruiert, welche durch den Punkt e gehen; 
die übrigen zwei fallen mit M zusammen, und ihre Fußpunkte mit den 
auf der Achse M liegenden Scheiteln c, d des Kegelschnitts K. 
1) Die vierte ist parallel zur Achse der Parabel, und hat ihren Fußpunkt im 
Unendlichen. 
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