Denn es ist iN" N' N. N) = + ^r (N" N' N,), und bezeichnet H 



den auf R' H" liegenden Punkt, welcher die gleiche Bedeutung für k be- 

 sitzt wie i/j für ^, und der also in der Affinität zwischen ky^ und k dem 



Punkte /?! entspricht, dann ist gleichfalls [H" H' H^H) = ± -^ (H"H'Hy), 



weil (H" H' H) = ±-^ ist. 



Dabei ist wie bekannt die Gerade q bei einer Ellipse k die Senkrechte 

 von H auf die Gerade, welche ihren Scheitel auf -{■ x mit dem auf -|- y 

 verbindet, während bei einer Hyperbel k die Gerade q senkrecht zu einer 

 Asymptote ist und von die Entfernung e besitzt. 



4. Durch die x\ffinität zwischen k und k^ entspricht jeder Hyperbel A, 

 welche durch geht und deren Asymptoten parallel zu [a] imd {b) sind, 

 wieder eine solche Hyperbel h-^. 



Beide Hyperbeln h und h^ sind x\pollonische sowohl für k als auch 

 ky, somit auch die erste für k, die zweite für k^. Dies folgt auch schon 

 aus den Gleichungen (1). Hat der Mittelpunkt von h wieder die Koordi- 

 naten Xq, yp, von Äj die Koordinaten x^, yj, so ist 



Aus (1) folgen die Koordinaten de Punktes P 

 r r, 



dessen Apollonische Hyperbel eben die gegebene h ist. Bezeichnen R, R^ 

 für Äj die Längen 



,,2 „2 



R=^. i?i = T 4- , 

 «l Ol 



so sind analog m-i, n^, die Koordinaten des Punktes Q-^, für den /zj die zu 

 ^1 gehörige Apollonische Hyperbel ist, durch die Gleichungen gegebea 



R R, 



und somit ist 



R i?i 



wobei R und R^ aus H■^^ gerade so ermittelt werden, wie r und r^ aus H^ 

 Setzen wir noch für Xq, Jq die Werte aus (1) ein, so kommt 



R R\ /Qv 



;«, = m, n-, = n . (ol 



>■ ;'i 



