gerade irgend eines Punktes V derselben mit P, die Achsen [a), [b) von k 

 in V, resp. V" derart schneidet, daß (V" V V) = ±"75, da diese Beziehung 



gilt, wenn V mit einem zu P gehörigen Normalenfußpunkt zusammenfällt. 



Bezeichnen wir mit P«, Pß die Fußpunkte der Senkrechten von P 

 und mit F„, Vß von V auf {a), resp. {b), so sind PaPß, Va Vß zwei Durch- 

 messer der Hyperbel h und schneiden sich somit in ihrem Mittelpunkt S. 



Betrachten wir die Parabel, welche [a] in V, {b) in V" berührt; sie 

 hat PaPß, V aVßZn Tangenten. Da das Teilungsverhältnis der Punkte, in 

 welchem irgend eine Tangente der Parabel von drei festen Tangenten, hier 

 (&), (a). Va Vß geschnitten wird, konstant ist, so folgt hieraus für die Schnitte 

 von PaPß, (a) und [b), daß (PßPaS) = (OV'Va) = (V'OVß). Nun ist 



{V'OVß) = (V"V'V) = +~. 



Es ist also 2 



iPßP„S)=±^. 



Bezeichnen also ag, b„ die zu [a) tmd [b) parallelen Asymptoten von /;, 

 so ist 



(P(a)fl„) = +|J, [P [b) bo) = ±^_ . 



Die Asymptoten der einem Punkte P entsprechenden ApoUonischen 

 Hyperbel sind demnach die gemeinschafthchen Sehnen des Kegelschnittes 

 mit den zwei doppeltberührenden Kreisen desselben, von denen der eine 

 seinen Mittelpunkt in dem Fußpunkt P« der von P auf (a), der andere in 

 dem Fußpunkt Pß der von P auf (&) gefällten Senkrechten hat. Ist der 

 Kegelschnitt eine Parabel, so ist «„ ^ [a) und die Entfernung des Punktes P 

 von der zweiten Asymptote &„ ist gleich dem Parameter p der Parabel. 



Sind also m, n die Koordinaten von P und Xq, a'q die des Mittel- 

 punktes von h, so folgt hieraus sofort, daß 



a^ am b'^ b n ,,, 



Xj = — m = , Vo = -^ ~„n = , (1 



c- r e^ r^ 



wenn wir mit e die Exzentrizität von k, mit r die Entfernung von des 

 Krümmungsmittelpunktes H' von k in dem auf + x liegenden Scheitel, 

 mit j\, wenn k eine Ellipse ist, die Entfernung von des Krümmungs- 

 mittelpunktes H" derselben in dem auf -f y liegenden Scheitel hingegen, 

 wenn k eine Hyperbel ist, die analoge Entfernung für die zu k inbezug 

 auf die Asymptoten konjugierte Hyperbel bezeichnen. 



3. Es sei n die Normale von k in einem beliebigen Punkte N dieses 

 Kegelschnittes, N', N" seien die Schnitte derselben mit («) und (b). Be- 

 zeichnen wir mit .v, y die Koordinaten von A''. so ist 



