Zum Normalenproblem der Ellipse und Hyperbel. 



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J. SOBOTKA. 



(Vorgelegt am 18. Mai 1912.) 



1. Die Lösung von Normalenproblems wird als auf die theoretisch 

 einfachsten Konstrukzionsmittel reduziert betrachtet, wenn sie außer dem 

 vollständig gegebenen Kegelschnitt nur noch Kreise und Gerade benützt. 

 Diese Zurückführung ist am schönsten durch die Joachimsthalsche Lösung 

 gegeben. Wir wollen hier aber die Fragestellung dahin erweitern, daß wir 

 nach der Lösung des Normalenproblems für irgend einen zentrischen Kegel- 

 schnitt fragen, wenn wir dieselbe für einen beliebig aber vollständig ge- 

 gebenen zentrischen Kegelschnitt it kennen; das heißt, es soll die Konstruk- 

 zion des Normalenproblems für einen beliebig gegebenen zentrischen 

 Kegelschnitt mit Hilfe von Geraden und Kreisen auf eine Normalenkon- 

 strukzion des Kegelschnittes m zurückgeführt werden. Diesbezügliche 

 Betrachtungen bilden den Kern der vorliegenden Arbeit. 



2. Die Fußpunkte der Normalen, die an einen Kegelschnitt k von 

 einem in dessen Ebene gelegenen Punkte P ausgehen, liegen auf der soge- 

 nannten Apollonisclien Hyperbel h, welche durch P sowie durch den Mittel- 

 punkt von k geht, und deren Asymptoten zu den Achsen von k parallel 

 sind. Es sei n eine von diesen Normalen, N ihr Fußpunkt N' ihr Schnitt 

 mit der Haupt-, A''" mit der Nebenachse von k. Es ist bekanntlich {N"N'N) 



= + -75- jenachdem der Kegelschnitt k Ellipse oder Hyperbel ist, wobei a 



b die absoluten Längen der halben Haupt- und Nebenachse bedeuten. 



Dreht sich eine Gerade in einer Ebene um einen festen Punkt P 

 und bringt man sie in jeder Lage mit irgend zwei festen Geraden [a), [b) 

 der Ebene in den Punkten V, V" zum Schnitte und bestimmt schließUch 

 auf ihr den Punkt V so, daß das Verhältnis (V" V V) konstant bleibt, so 

 beschreibt V eine durch P gehende Hyperbel, deren Asymptoten zu («) 

 und (ö) parallel sind, wie aus der Projektivität der zu {a) und [b) parallelen 

 Strahlenbüschel, in denen sich jedesmal die durch einen Punkt F gehenden 

 Elemente entsprechen, beziehungsweise aus der Projektivität der Punkt- 

 reihen, die sie auf (b) und («) einschneiden unmittelbar hervorgeht. Für die 

 ApoUonische Hyperbel h folgt hieraus die Eigenschaft, daß die Verbindungs- 



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