Eine Minimumseigenschaft des Oktaeders. 



J. SOBOTKA. 



(Mit zwei Figuren im Text.) 



Vorgelegt am 28. April 1913. 



I. 



1. Wir setzen den folgenden Satz voran: 



Von allen einem spiizwinkeligen Dreieck eingeschriebenen Dreiecken 

 besitzt das Dreieck der Höhenfußpunkte den kleinsten Umfang. 



Einen einfachen und schönen Beweis dieses Satzes hat H. A. Schwarz 

 gegeben (Gesamm. Abhandlgn. Bd. II. S. 344). 



In Anlehnung an diesen Beweis können wir ein räumliches Analogon 

 des angeführten Satzes ableiten, indem wir uns die folgende Aufgabe 

 stellen. 



Ein von kongruenten Dreiecken begrenztes Oktaeder ist zwischen zwei 

 parallelen Seitenflächen durch eine Ebene nach einem Sechseck so zu schneiden, 

 daß sein Umfang ein Minimum wird, und unier allen möglichen derartigen 

 Sechsecken ist ein solches zu konstruieren, welches ein Maximum des In- 

 halts besitzt. 



Vorerst bemerken wir, daß die Begrenzungsdreiecke des Oktaeders 

 immer spitzwinkelig sind. 



Es sei der Mittelpunkt des Oktaeders, A,C ; B, D; E, F seine 

 Gegeneckenpaare, deren Verbindungsgeraden ein dreirechtwinkeliges Ach- 

 sensystem bilden, so daß AO = OC, BO = OD, EO = OF. Den ebenen 

 Schnitt führen wir beispielsweise zwischen den Seitenflächen ADE, BCF. 

 Die durch die übrigen Seitenflächen gebildete Mantelfläche des Oktaeders 

 breiten wir in eine Ebene aus, hier in die als Projekzionsebene gedachte 

 Ebene A BCD und zwar so, daß die Seitenflächen 



ABE, BCE, CDE, CDF, DAF, ABF 



nebeneinander nach (Fig. 1) 



ABE,. BC,E„ C,D„E,. C,D„F„ D,A,F,„ A,B,F, (!) 



gelangen. In dieser Darstellung kann jedes der letzten angeführten fünf 

 Dreiecke als eine Wendung des vorangehenden Dreieckes aufgefaßt werden. 



