Wir erhalten also die ganze ausgebreitete Mantelfläche, wenn wir mit 

 dem Dreiecke ABE^ nach einander fünf Wendungen um folgende Seiten 

 vollführen: BEq, AE„, AB, BE„, AE^. Würden wir noch schließlich eine 

 sechste Wendung um AB vollführen, so würde dadurch das Dreieck ABEq 

 aus seiner ursprünglichen Lage in eine gleichsinnig paralelle Lage A^B^E^ 

 gelangen, so daß das ursprüngliche Dreieck ABE„ durch eine bloße Parallel- 

 verschiebung mit dem Dreieck A„Bf,E„ zur Deckung gebracht werden 

 könnte. Die Strecke AAç, gibt die Richtung und Größe dieser Parallel- 

 verschiebung an. 



Jede zu A A^ parallele durch A B und A^^Bn begrenzte Strecke G Gg, 

 welche alle sechs Dreiecke der Reihe (1) schneidet, ist die Ausstreckung 

 eines auf der zwischen den Ebenen ADE und B C F enthaltenen Mantel- 

 fläche des Oktaeders liegenden Sechsecks, dessen Umfang ein Minimum 

 ist. Wohl könnten zwischen AB und A^B^^ kürzere Strecken als G G^ ge- 

 zogen werden; diese würden aber nach der Aufwickelung auf das Oktaeder 

 kein geschlossenes Sechseck ergeben. 



2. Wählen wir insbesondere G im Fußpunkt der senkrechten von E 

 auf A B, so ist nach Schwarz G Gq gleich dem doppelten Umfang des 

 Dreiecks der Höhenfußpunkte für irgend eine Seitenfläche des Oktaeders. 

 Unsere Darstellung gibt auch sofort die Größe u des Umfanges für dieses 

 Dreieck der Höhenfußpunkte an. Denn aus dem Dreieck A A^Cn folgt, 

 wenn mit a die von A im Dreieck ABE ausgehende Höhe und mit a der 

 Winkel bei A bezeichnet wird, da <^ A Cq/Jo = 2 a, daß 



u = 2 a sin a, 



so daß also das doppelte Produkt aus irgend einer Höhe eines spitzwinke- 

 ligen Dreiecks und dem Sinus des Winkels, durch den die Höhe geht, 

 gleich dem Umfang des Dreiecks der Höhenfußpunkte ist, woraus neben- 

 bei folgt, daß ein spitzwinkeliges Dreieck gleich ist einem Dreiecke, welches 

 den Halbmesser seines umgeschriebenen Kreises zur Grundlinie und den 

 Umfang des Dreieckes seiner Höhenfußpunkte zur Höhe hat. 



Betrachten wir näher das Sechseck G I II H III IV, in welches die 

 Strecke G G„ aufgewickelt wird, wobei die Punkte I, II, H, III, IV bezie- 

 hentlich auf E B, EC, CD, D F, A F liegen ; die Umlegungen dieser 

 Punkte seien /„, . . . /î'„. Die Strecke G I verbindet die Fußpunkte der 

 Senkrechten von E und .4 auf A B resp. E B ; es schneiden deshalb die 

 Ebenen A 1,0 GE die Ebenen OB E, OB A in den Geraden I, G, 

 welche auf B E resp. A B senkrecht stehen. Aus analogen Gründen sind 

 //, H, III, IV die Fußpunkte der Senkrechten von auf die Kanten C E, 

 C D, D F, A F. 



Die drei Geraden G H, I III, II IV, liegen in einer Ebene. Denn 

 die drei Höhen etwa im Dreieck BEC schneiden sich in einem Punkt, 

 welcher von dem Schnittpunkt K der Geraden / //, BC durch die Seiten 

 EB, EC harmonisch getrennt ist. Die Orthogonalprojektion der von E 



