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Daraus folgt, daß in jedem Sechseck GJJI^HJIIJV^ die Seiten, 

 welche von zwei gegenüberliegenden Ecken ausgehen, einen Rhombus 

 bilden und daß speziell das Sechseck G I II H III IV einem Kreise k um- 

 geschrieben ist. Es ist ferner leicht zu erkennen, daß die Mittelpunkte 

 der aus den Seiten von G^I^II^H^III^IV^ gebildeten Rhomben ein Dreieck 

 bestimmen, daß gleich der halben Differenz 



Gl II H III IV — GJJI^HJIIJV, 



ist, wie aus den geeignet aneinander gereihten in der Figur zum Ausdruck 

 gebrachten wahrten Gestalten ersichtlich ist. 



Ist das Oktaeder ein regelmäßiges, dann ist G I II H III IV gleich- 

 falls ein regelmäßiges Sechseck. 



II. 



1-. Wir können unsere Resultate auch für ein allgemeines Oktaeder 

 mit ^littelpunkt verallgemeinern. 



Es seien für dasselbe wieder E, F ; A,C; B,D je zwei diametral 

 gegenüberliegende Ecken, wobei die Geraden EF, AC, BD jetzt beliebige 

 Winkel mit einander einschließen. 



Wir wickeln wieder die zwischen zwei parallelen Seitenflächen ent- 

 haltene Mantelfläche desselben in eine Ebene ab und bezeichnen die Ab- 

 wickelung genau so wie früher. Die Abwickelung einer solchen Mantel- 

 fläche läßt sich als gegeben voraussetzen, indem wir (Fig. 2) in einer Ebene 

 die Dreiecke A B Eq, B Cq E^, C„DgEg annehmen, wobei CgDg = A B ist, 

 hierauf mit der Figur eine Wendung um eine in der Ebene liegende Gerade 

 vollführen imd die so erhaltene Figur in der Ebene so verschieben, daß 

 die neue Lage der Seite A B mit C^Dg zur Deckimg kommt. 



Auch hier ist A^Bg \\ A B. Denn die Winkelsumme im Sechseck 

 B BgAgDgEgA B ergibt bei der aus der Figur ersichtlichen Bezeichnung 



< ß„ß ^ + a + Si + £., + £3 + §1 + ßi + ß, + Yi + y, + a = 4.180". 

 Da aber 

 cc + £1 + ßi = 180», £3 -f ßo -f Ti = 180», £3 + Y-, + Si = 1800, 



so ist gleichfalls 



<^B,BA +3= 180«, 

 weshalb also 



AgB, 11 A B. 



Sechsecke von minimalem Umfang auf unserer Mantelfläche werden 

 somit in zu B Bg parallele Geraden abgewickelt . 



Die Gerade CgDg möge von A B in L, von AgBg in M getroffen werden. 



Wir erhalten so die kongruenten Dreiecke B L Cg, DgM Ag. Schneidet die 



Parallele durch Ag zu CgDg die Gerade A B in N, so ist 



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