213 



B 7„= ni,D,, I,E,= F,III . 

 C„Ih= IV,A,, II,E,= FJV, , 



-^o daß im Räume die Punkte G. H; I, III; II, IV einander diametral 

 gegenüber liegen. 



Aus den soeben bemerkten Winkelgleichheiten ersehen wir zunächst, 

 daß die gerichteten Geraden H II, HC gleiche Winkel einschließen wie 

 die in ihrer Ebene gleichfalls gerichteten Geraden G I,G B. wobei der 

 Sinn immer durch die Reihenfolge der Buchstaben bezeichnet erscheint. 

 Ziehen wir durch E die Senkrechten zu B A und C D, deren Fußpunkte G* 

 resp. H* sein mögen, und dann die Parallelen zu I G resp. II H bis zum 

 Schnitt (Tresp. 5" mit BA und CD und schneiden wir G*Ä* mit GH 

 in A', so ist 



H*X ; G*A = H*H : G*G = E H* : E G*, 



wobei A außerhalb der Strecke H*G* liegt. Daraus folgt, daß die Gerade 

 E X, welche in der zu G I, II H parallelen durch E gehenden Ebene liegt. 

 den Winkel der Geraden E H*, E G* halbiert und somit senkrecht ist zu 

 der Ebene E, welche den inneren Winkel der Seitenflächen A B E, DC E 

 halbiert. 



Ebenso finden wir, daß die Ebene E', welche den inneren Flächen- 

 winkeln der Oktaederflächen ADF, A E B halbiert, senkrecht steht zur 

 Geraden A Y, welche der durch A gehenden, mit den Geraden G / und /// IV 

 parallelen Ebene angehört. 



Schließlich können wir noch die durch B zu den Graden // /, IV G 

 parallelgelegte Ebene betrachten. Die erste von diesen Geraden schließt 

 mit E C denselben Winkel ein wie die zweite mit A F. Folglich ist diese 

 Ebene parallel zu der Geraden B Z, die senkrecht auf derjenigen Ebene E" 

 steht, welche den Innenwinkel der Seitenflächen BEC, BAF halbiert. 



Verschieben wir die Ebenen E', E" parallel, bis sie ebenso wie E 

 durch den Punkt E gehen, so werden sie alsdann die Flächenwinkel des 

 Dreikants halbieren, dessen drei Kanten von E beziehungsweise nach B, C 

 und, auch dem Sinne nach, parallel zu .4 B gehen. Demnach schneiden 

 sich diese drei Ebenen in einer Geraden u, der Achse dieses Dreikants. 

 Daraus folgt, daß die Geraden EX, A Y, BZ senkrecht zu u sind und 

 daß somit das Sechseck G I II H III IV in der durch auf die Gerade u 

 normal gestellten Ebene liegt. 



Die Gerade u bekommen wir darnach auch wie folgt. Wir verlängern 

 die drei Seitenflächen des Oktaeders, welche je eine Kante mit einer und 

 derselben am Schnitte nicht beteiligten Seitenfläche gemeinschaftlich 

 haben, wodurch wir ein Dreikant bekomm.en, dessen innere Achse gleich- 

 falls die Richtung von u angibt. Wir haben somit den Satz: 



Unter allen Sechsecken, welche wir auf unserer Mantelfläche verzeichnen 

 können, haben somit diejenigen, welche in den zur Geraden u senkrecht ge- 



