Sei k ein Kreis vom Radius r und auf der Peripherie desselben ein 

 Punkt a, in welchem die Tangente Y gezogen wird; zu beliebiger Tangente 

 dieses Kreises fällen wir die Senkrechte ab und aus dem Punkte h die Senk- 

 rechte zu y und tragen auf: c p = ab; dann ist p ein Punkt der recht- 

 winkeligen Kreiselkurve. Diese Kreiselkurve hängt demnach mit der 

 Kardioide in folgender Weise zusammen. Bei gleichen Abszissen sind die 

 Radienvektoren der Kardioide Ordinalen der Kreiselkurve. 



Die Kardioide hat in a einen Kuspidalpunkt, ebenso die Kreisel- 

 kurve; somit hat auch die Raumkurve in a einen Kuspidalpunkt und ist 

 symmetrisch zu der durch die Achse a s gehende Aufrißebene. 



Die Achsen des Grund- und Polkreises k und >c schneiden sich (Fig. 3) 

 im Punkte v, welcher gemeinschaftlicher Scheitel zweier kongruenter, 

 rechtwinkliger Rotationskegel mit den Grundflächen k und x ist ; ihre 

 Höhen sind r und ihre Seiten >'V2. Durch Rollung der Polkegels am Grund- 

 kegel entsteht unsere Raumkurve ^) ; dabei bleibt der Kreis y. stets am 

 Umfange der Kugel K, deren Centrum v, und deren Radius f V^^ist ; unsere 

 Raumkurve ist also sphärische Rollkurve. Berücksichtigen wir (Fig. 1), 

 daß die Verbindungsgerade a p mit der Z- Achse den Winkel 45° ein- 

 schließt, so erkennen wir, daß unsere Raumkurve Schnittkurve der Kugel K 

 mit einem orthogonalen Rotationskegel ist, dessen Scheitel a auf der Kugel 

 liegt, und dessen Achse zur Ebene des Grundkreises k senkrecht ist; dieser 

 Kegel berührt in seinem Scheitel a die Kugel K und geht durch den Mittel- 

 punkt V derselben. Die Kuspidaltangente im Punkte a unserer Raumkurve 

 ist offenbar die Schnittlinie ihrer Symmetrieebene mit der Tangential- 

 ebene im Punkte a zur Kugel K. Aus der Fig. 1 oder 3 ist noch folgende 

 Konstruktion unserer Raumkurve ersichtlich. 



Wir schneiden Kugel und Kegel mit zur Grundrißebene parallelen 

 Ebenen ; die gemeinschaftlichen Schnittpunkte q ■ der Schnittkreise sind 

 Punkte der Raumkurve; wir bemerken, daß im Aufriß jeder Punkt doppelt 

 zählt, dadurch reduziert sich die Ordnung auf die Hälfte. Die Schnittkreise 

 schneiden sich aber noch in den imaginären Kreispunkten im Unendlichen, 

 ihre Verbindungslinie ist reell, und der Aufriß derselben ist der unendlich 

 ferne Punkt der Achse X. Der Aufriß der Durchdringungskurve ist also, 

 wie wir bereits wissen, eine Parabel. 



D a r b o u X befaßt sich in seinem treffhchen Werke: Sur une classe 

 remarquable des courbes et des surfaces algébriques et sur la théorie des imagi- 

 naires, II tirage, Paris, 1896, pag. 26 u. f. mit solchen Schnittkurven eines 

 Kegels mit einer Kugel und nennt dieselben cycliques sphériques*) ; es 

 ist klar daß unsere RoUkurve ein spezieller Fall der D a r b o u x'schen 

 sphärischen Zyklike ist ; sie gehört also zu den Rollzykliken, und wir wollen 

 dieselbe gemeine orthogonale sphärische Kardioide nennen. Wir können 

 also folgende Sätze formulieren: 



'■") Tei-Keira: 1. c. pag. 350, ferner T. I. pag. 290. 

 J) Te ixe ira: 1. c. pag. 334 — 341. 



