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Der Grundriß der orthogonalen sphärischen Kardioide ist eine ebene 

 Kardioide, der Aufriß ist eine Parabel und der Seitenriß eine Kreiselkurve ; 

 ihre Zentralprojektion aus dem Punkte a auf eine zur Grundebene paral- 

 lele Ebene ist em Kreis, und ihre stereographische Projektion für den Pol a 

 ist eine Parabel.^) Unsere Rollzyklike ist noch mehr spezieller Fall als der 

 von Darboux auf pag. 32 unter 2" oder pag. 33 unter 3° angeführter 

 Fall. Es ist seit Poncelet bekannt, daß die Ecken des gemeinschaft- 

 lichen Poltetraeders zweier Flächen zweiter Ordnung die Scheitel jener 

 Kegel zweiter Ordnung sind, welche man durch die Raumkurve vierter 

 Ordnung legen kann, in welcher sich die gegebenen Flächen zweiter Ord- 

 nung schneiden. Berühren sich beide Flächen zweiter Ordnung in einem 



Punkte a, so hat ihre Durchdringungskurve in diesem Punkte a bekannt- 

 lich einen Doppelpunkt und der Kegel mit dem Scheitel a zählt bekannt- 

 lich doppelt. Das ist der von Darboux*) erwähnte Fall. Berührt 

 jedoch der Kegel die Kugel in seinem Scheitel a, so hat die Durchdringungs- 

 kurve im Punkte a einen Kuspidalpunkt und der Kegel mit dem Scheitel a 

 zählt dreifach.") Das gemeinsame Poltetraeder unserer beiden Flächen 

 ist also der dreifachzählende Punkt a und der unendlich ferne Punkt der 

 Y-Achse. 



Tangentenkonstruktion der sphärischen Kardioide. 



Es sei (Fig. 4) p beliebiger Punkt unserer Kurve. Ergänzen wir 

 «j />! w^ zum Rechtecke mit der Ecke «j, so ist klar, daß n-^ p^ die Nor- 

 male, und die Senkrechte zu derselben die Tangente Tj der Kardioide des 



'■•) Auf diese Eigenschaft sowie noch auf gewisse andere im Folgenden 

 machte mich Herr Kollege Lere h aufmerksam. 



*) Darboux: 1. c. pag. 32 unter 2". 



■) W i e n e r: Lelirb. d. darst. Geom. 1887, II. Band, p. 306. Vergleiche auch: 

 G. Koenigs: Leçons de l'agrégation classiques de Mathématiques, Paris 1892, 

 das Kapitel: Les courbes cycliques pag. 130 — 162; unser Fall ist daselbst als Type C, 

 p. 141 angeführt. 



