Grundrisses ist. Die Tangente T im Räume befindet sich in der Tangential- 

 ebene des oben angeführten Kegels längs der Geraden a f ; die Grundriß- 

 spur dieser Tangentialebene ist also a-^ «i, und der Schnittpunkt t■^ dieser 

 Geraden mit T-^ ist die Grundrißspur der Tangente T unserer Raumkurve; 

 ebenso ist t^ p^ = ^2 der Aufriß und t^ ps = T^ der Seitenriß dieser Tan- 

 gente. Dadurch erhielten wir eine neue Konstruktion der Tangente der 

 rechtwinkligen Kreiselkurve (Fig. 2) : Wir ergänzen a b cù zum Rechtecke, 

 zur Diagonale b n führen wir durch b die Senkrechte, ihren Schnittpunkt t 

 mit a n projizieren wir senkrecht auf die Tangente Y nach t; dann ist t p 

 die Tangente der Kreiselkurve. 



Die develloppable Fläche (Torse) der orthogonalen 

 sphärischen Kardioide. 



Der Schnitt der Tangentenfläche unserer Raumkurve mit der Grund- 

 rißebene (Fig. 4) ist die Kurve [t^). Ihre Polargleichung ist, falls «1^1=9 

 den Radiusvektor und a = 90 — ç die Amphtude bedeutet: 



(1 + sin y.)~ 

 ^ ' cos y. 



oder in rechtwinkligen Koordinaten: 



(9) X {x'^ — 2r X* + r- x^ + 2 x^ y- — 6 r x^ y- + x y^ — i r y*) = 0. 



Die Kurve ist also eine Sextik, welche in die Tangente im Punkte a 

 des Grundkreises zerfäUt, und in eine bizirkulare Ouintik, deren Gleichung 



ist : 



(10) X (x^ + yY — 2 r {x^ + }'") {x- + 2 y^) + r'- x^ = 0. 



Diese Ouintik ist (Fig. 5) symmetrisch zur Achse a s, geht durch 

 den Scheitel a und hat iür a d = r in d den Doppelpunkt, bildet über a d 

 eine Schleife und entfernt sich ins Unendliche in der zu a s senkrechten 

 Richtung; aus (8) folgt: 



und 



(11) Subn = -^ = pigoi i- 2r {l + sin a) 



pä >' (1 -i- sin a)ä 



(12) Siibti; = -~r^ = , , ^ . -- - — '-^r-- 

 ^ ' ^ Sitbn 1 + sin a + cos- v. 



Aus diesen Ausdrücken folgt: 



Die Doppelpunktstangenten in d erhalten wir, indem wir auf beide 

 Seiten der Tangente im Punkte a von diesem Punkte den halben Halb- 

 messer des Grundkreises auftragen und die Endpunkte b mit d ver- 

 binden. 



