Die Asymptote ist senkrecht zu a s, >md ihre senkrechte Entfernung 

 von a beträgt den vierfachen Halbmesser des Grundkreises. Die Kurve 

 hat im Unendhchen einen Wendepunkt. 



Die Normale in beliebigem Punkte t der Kurve erhalten wir folgender- 

 maßen: Wir übertragen ap = pq nach q, ferner errichten wir in t die 

 Senkrechte zum Vektor a t bis zum Schnittpunkte z mit a s, und übertragen 

 t z = q u nach u ; dann ist ti t die Normale der Ouintik im Punkte t. 



Die Tangente T der Ouintik im Punkte / ist offenbar die Grundriß- 

 spur der Oskulationsebene im Punkte p unserer Raumkurve, und dieselbe 

 ist durch p T bestimmt. Diese 

 Oskulationsebene schneidet den 

 oben angeführten Orthugonalkegel 

 in einem Kegelschnitte, welcher im 

 Punkte p die sphärische Kardioide 

 oskuliert ; wenn wir also den Krüm- 

 mimgsmittelpunkt dieses Kegel- 

 schnittes konstruieren, so erhalten 

 wir gleichzeitig den Mittelpunkt der 

 ersten Krümmung unserer Raum- 

 kurve. Diese Methode ist dieselbe 

 wie bei der Schraubenlinie. In un- 

 serem Falle gelangen wir noch 



einfacher zu diesem Ziele durch folgende Überlegung: Die Normal- 

 ebene im Punkte p zur sphärischen Kardioide geht durch den Mittel- 

 punkt V der Kugel A', ebenso die Normalebene im Nachbarpunkte. Diese 

 unendlich nahen Normalebenen schneiden sich in der Krümmungsachse 

 der Raumkurve, und diese Krümmungsachse geht somit durch v und ist 

 senkrecht zur Oskulationsebene von p. Wir erhalten also den Mittel- 

 punkt der ersten Krümmung der sphärischen Kardioide, indem wir vom 

 Punkte V auf die Oskulationsebene von p die Senkrechte fällen. (Ist in 

 der Tafel nicht konstruiert.) 



Klinogonale sphärische Kardioide. 



Betrachten wir jetzt den Fall, daß die Ebene des Polkreises k mit 

 der Ebene des Grundkreises k während der Rollung konstanten Winkel ']> 

 einschließt. Es sei (Fig. 6) 9 der Rollungswinkel, w der Momentanpol; 

 fällen wir von a die Senkrechte «j p^ auf die Tangente im Punkte w und 

 beschreiben wir aus dem Mittelpunkt p^ mit dem Halbmesser p^ «j den 

 Kreisbogen a^ (p'), dessen Zentriwinkel 'h ist. Aus dem Punkte (/>') fällen 

 wir die Senkrechte (/>') p^' auf a^ p^ ; dann ist p^' der Grundriß eines 

 beliebigen Punktes unserer Rollkurve, welche wir gemeine klinogonale 

 sphärische Kardioide nennen werden. Seien x y z die rechtwinkligen Ko- 



