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ebene parallele Ebene ist ein Kreis, die stereographische Projektion für 

 den Pol a ist eine Parabel. 



Für (^ = übergeht diese Rollkurve in den Punkt a; für 6 = 180 

 m die doppelt so große Kardioide, weil dann 1 — cos (jj = 2 ist ; dieselbe 

 ist die Konchoide des Grundkreises k, wobei der konstante Abschnitt 2 r 

 ist.') Im Folgenden wollen wir dieselbe und ihren Grundriß A = A^^ be- 

 zeichnen, die rechtwinklige und ihren Grundriß B und B-^ und die schief- 

 winklige und ihren Grundriß C und Cj. 



Tangentenkonstruktion der klinogonalen sphärischen 

 Kardioide. 



Die Kardioiden B^ und C^ (Fig. 9.) sind homothetisch für a; ihre 

 Tangenten in den entsprechenden Punkten p^ und p^' sind also parallel, 

 9. pi t-^ II />/ il'. Die sphärischen Kurven B und 



C projizieren sich von a durch koaxiale 

 Rotationskegel; die Berührungsebenen dieser 

 Kegel längs a p und a p' haben also die- 

 selbe Grundrißspur «i%_L^i«i. Es ist also 

 die Grundrißspur t^' der Tangente in p' auf 

 der Verbindungsgeraden flj^j; außerdem ist, 

 wenn p' den Vektor von t^' bedeutet: 



(23) 



= 1 cos '\) . 



Die Kurve t^' ist also homothetisch zu 

 der Kxirve ty. Alle Tangenten der klino- 

 gonalen sphärischen Kardioide bilden also 

 eine Torse, deren Grundrißspur eine zur früheren homothetische Ouintik 

 ist ; für diese neue Quintik gelten alle früheren Konstruktionen, wenn wir 

 als Grundkreis k' denjenigen betrachten, dessen Radius r' = r {l — cos <\i) 

 ist. Unter anderem gelangen wir zur nachstehenden Tangente nkonstriik- 

 iioii der klinogonalen Kreiselkurve (Fig. - 7) : 



Wir ergänzen agp^oy zum Rechteck, auf die Verbindungslinie «^ />j 

 fällen wir aus dem Punkte p^' die Senkrechte, und projizieren den Schnitt- 



") Da unsere Betrachtung nicht nur für einen Kreis sondern für eine beliebige 

 Kurve gültig bleibt, ist im Vorhergehenden ein einfacher Beweis des bekannten 

 Steine r'schen Satzes enthalten: Rollt eine Kurve auf eine. Kongruenten, sc ist 

 die Rollkurve der Fußpunktkurve der gegebenen Kurve in Bezug auf den beschrei- 

 benden Punkt als Pol ähnlich im Verhältnis 2 : 1 ; im Vorhergehenden ist auch die 

 A'erallgemeinerung dieses Satzes enthalten: Rollt eine beliebige Kurve auf einer 

 Kongruenten, so daß ihre Ebenen einen konstanten Winkel <\) einschließen, so sind 

 die Projektionen der räumlichen Rollkurven auf die Grundebene homothetische 

 Kurven in Bezug auf den beschreibenden Punkt als Pol für das Verhältnib 1 — cos (j; • 



