punkt t( dieser Senkrechten mit «3 ;/j auf die Tangente des Punktes «., 

 nach ^3' ; die Verbindungsgerade t^ p^' ist die gesuchte Tangente. 



Die Tangente und Nonnale der neuen Quintik sowie die Krümmungs- 

 achse der kHnogonalen sphärischen Kardioide wird ebenso wie früher 

 konstruiert. 



Die Fläche der Zykliken. 



Jetzt übergehen wir zur Lösung der Hauptaufgabe: welchen Ort 

 erfüllen alle so erhaltenen sphärischen Kardioiden? Zu dem Zwecke elimi- 

 nieren wir aus (13), (14), (15) die Winkel ç und <\i. Wir verschieben, um 

 die Eliminationsgleichung in der einfachsten Form zu erhalten, den An- 

 fangspunkt von a nach s ; dann erhalten wir die Gleichyngen : 



(24) X — r = r {\ — cos ç) (1 — cos i];), 



(25) y = r {\ — cos 9) sin 9(1 — cos 1^), 



(26) 2 = ;' (1 — cos ç) sin ij;. 



Die Elimination erfordert längere Rechnung ; wir schreiben also 

 gleich das Endresultat: 



(27) {x^ + y- + 2^ — »'2)- = 4 /•■'' [(.r — ;f + y-] . 



Durch Einführung homogener Koordinaten erkennen wir unmittel- 

 bar: der imaginäre Kreis im Unendlichen ist eine Doppelkitrvc der Fläche ; 

 dieselbe ist also ein Spezialfall der Kumme r' sehen Fläche. 



D a r b o u X befaßte sich im vierten Teile des zitierten Werkes 

 mit solcken Flächen vierter Ordnung, welche den imaginären Kreis als 

 Doppelkurve enthalten, und nannte solche Flächen Cyklidcn •') ; er gibt 

 auch als Gleichung dieser Flächen an:i'^) 



(28) (.r^ -f y2 + z^ + 4/1 .r2 + 4 .4 ' y- -f 4 .-1 " 2^ + 8 C a; + 8 C y + 



-f 8 C" 2 + 4 D = 0. 



Geben wir unserer Gleichung die Form: 



(29) [x- + y- + z^y- — 6 ;-■- x- — Q f- y^ — 2 r^ 2^ + 8 r^ x — 3 /-' = 0, 



so erkennen wir, daß unsere Fläche derjenige Spezialfall der D a r b o u x- 

 schen Cyklide ist, für welchen die Koefficienten die Werte haben : 



(30) A= — ^y^,A'=~^r^, A"= — ]r}^, C = r', C'=C"=0, D = ^ r" . 

 Ù 1 Ù 4 



") Darboux: 1. c. pag. 107 u. f. 



'") Darbou.x: 1. c. pag. 114 vergleiche auch: Kocnigs I. c. p. Kiii — 207. 



