hat ein einziges System von Kreisschnitten ; es ist demnach der Fall/^) 

 den D a r b o 11 X unter 1" anführt. 



Bemerkung: Die Gleichung (27) haben wir nur abgeleitet, um die 

 Ordnung der Fläche zu bestimmen ; wir können aber rein geometrisch 

 schließen, daß die Fläche vierter Ordnung ist, weil wir einen Kardioiden- 

 schnitt erkannten, andererseits, weil ein ganzes Ebenenbüschel die Fläche 

 in je zwei Kreisen schneidet. Aus letzterem Umstände schließen wir, daß 

 in jeder Ebene dieses Büschels die unendHch fernen imaginären Kreis- 

 punkte der Fläche als Doppelpunkte angehören, und daß daher der imagi- 

 näre Kreis eine Doppelkurve der Fläche ist. Wir können noch den Satz 

 aussprechen: 



Die Zentralprojektion der gemeinen Herzfläche mit ihren sphärischen 

 Kardioiden und Kreisschnitten aus dem Punkte a auf eine zur Ebene des 

 Grundkreises parallele Ebene ist ein Büschel konzentrischer Kreise und 

 ein orthogonales (konzentrisches) Strahlenbüschel. 



Berührungskonoid dritter Ordnung der Herzfläche. 



Die Grundrisse aller Zykliken und Kreisschnitte sind hompthetische 

 Kardioiden und ein Strahlenbüschel mit dem gemeinschaftlichen Zentrum 

 in a. Ziehen wir (Fig. 9) die Tangenten in den Schnittpunkten eines Kreis- 

 schnittes zu allen sphärischen Kardioiden. Ihre Grundrisse sind Tangenten 

 zu den homothetischen ebenen Kardioiden in allen Punkten eines durch a 

 gehenden Strahles, und sind daher alle zu den Tangenten der Kardioiden A-^ 

 oder ßj in den Durchschnittspunkten mit dem erwähnten Strahle parallel. 

 Die Grundrißspuren t aller dieser Tangenten sind nach Früherem auf der 

 Senkrechten im Punkte a zu dem betrachteten Kreisschnitte. 



Die Tangenten der sphärischen Kardioiden schneiden also: 1") den 

 Kreisschnitt, 2") die Senkrechte im Punkte a zu diesem Kreisschnitte und 

 haben 3") die Direktionsebene parallel zu den grundrißprojizierenden Ebenen 

 dieser Tangenten ; dieselben erfüllen also ein Kreiskonoid dritter Ordnung, 

 welches die Herzfläche in allen Punkten des Kreisschnittes berührt; wir 

 haben also den Satz: Der gemeinen Herzfläche kann längs jedes Kreis- 

 schniües ein Kreiskonoid dritter Ordnung umschrieben werden}-) 



Tangentialebene. Berührungskegel. 



Die Tangentialebene im beliebigen Punkte der Fläche ist durch die 

 Tangenten zur sphärischen Kardioide und zum Kreisschnitte, welche durch 



") Darboux: 1. c. pag. 129 — 130. 



") Wenn die Direktionsebene mit der Leitgeraden einen Winkel von 45° ein- 

 schließt, dann übergeht dieses Konoid in das bekannte Kuppe r'sche Konoid. 



