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Dabei ist: 



(45) 



aPi ^ 1 



cos 4'. 



Der Punkt o erfüllt die verlängerte beziehungsweise verkürzte Kar- 

 dioide, nämlich die Fußpunktkurve des Kreises k in Bezug auf den Pol a ; 

 diese Kurve ist der Grundriß der orthogonalen verlängerten oder verkürzten 

 sphärischen Kardioide (tj; = 90") ; ihr Aufriß ist eine Parabel, und ihr 

 Seitenriß eine verlängerte beziehungsweise verkürzte orthogonale Kreisel- 

 kurve, deren Gleichungen wir sofort anschreiben werden. Der Punkt p 

 beschreibt die klinogonale ((j; ^ 90) verlängerte oder verkürzte sphärische 



Kardioide ; ihr Grundriß ist eine verlängerte oder verkürzte ebene Kardi- 

 oide, welche zur vorhergehenden homothetisch in Bezug auf den Pol a 

 ist, für das Ähnlichkeitsverhältnis 1 — cos <]t; wir konstruieren leicht deren 

 Aufriß, der eine Parabel ist, und deren Seitenriß, welcher verlängerte oder 

 verkürzte klinogonale Kreiselkurve ist. 



Durch Elimination der Winkel 9 und 'l^ aus den vorgehenden Glei- 

 chungen erhalten wir die Gleichungen der soeben beschriebenen Kurven: 



Grundriß ; 

 (46) [x^ J^y2j^ax{l — cos <];)]2 = y2 i^x^ + y2) (1 _ cos (1;)2. 



Aufriß: 



sin^ <]/ 



(47) 



r z sin 1]^ -f « 



Seitenriß: 



(48) (22 _ r sin i> . z)- ■ 



1 — cos tj^ 



X = 0. 



■ a^ sin- <li z^ + ä- 



sin* <\i 

 (l — cosf^iy 



. y2 = 0. 



Für diese verlängerte, beziehungsweise verkürzte khnogonale Kreisel- 

 kurve haben wir die Konstruktion (Fig. 15 a, 15 6): 



Zur Tangente im Punkte w des Kreises k fällen wir von a die Senk- 

 rechte a a, drehen dann diese Senkrechte um o um den Winicel ^j;, und 

 vom Punkte (/>) fällen wir die Senkrechte (p) p^ auf a a, endlich fällen 



