gonale oder klinogonale sphärische Kardioide, je nachdem a^r und 

 ij;^90ö ist. 



Wir haben also die ResuUate: 



Der Grundriß der verl. oder verk. sphär. Kardioide ist verlängerte 

 oder verk. ebene Kardioide, der Aufriß ist eine Parabel, und der Seitenriß 

 eine verlängerte oder verk. Kreiselkurve; die Zentralprojektion aus dem 

 Punkte a auf eine zur Grundebene parallele Ebene ist ein Kreis ; die stereo- 

 graphische Projektion für den Pol a eine Parabel. 



Für 4» = übergeht die Zykhk in den Punkt a, für <!^ = 90'' in die 

 rechtwinklige sphärische Kardioide, und für tp = 180" in die ebene verl. 

 oder verk. Kardioide, welche doppelte Dimensionen hat als diejenige, 

 welche der Grundriß der rechtwinkeligen ist. Im Folgenden bezeichnen 



wir wieder diese Kardioide und ihren Grundriß A '=A-^' , die rechtwinklige 

 B' und ihren Grundriß B^ , die schiefwinklige C und ihren Grundriß Q'. 



Tangentenkonstruktion der verlängerten oder verkürzten 

 sphärischen Kardioide. 



Weil die Kardioiden ß^' und Cj' für a homothetisch sind (Fig. 17 a, 

 11 b), wobei das Ähnlichkeitsverhältnis 1 — cos ^ ist, so sind deren Tan- 

 genten in den entsprechenden Punkten p-^ und p-^' wieder parallel. Die 

 sphärischen Kurven B' und C projizieren sich aus a durch koaxiale Rota- 

 tionskegel, deshalb haben die Tangentialebenen längs der Erzeugenden a p 

 und a p' zu diesen Rotationskegeln gemeinschaftliche Grundrißspur 

 «1 "i J_ Pi «1- Bezeichnen wir wieder i die Grundrißspur der Tangente 

 in p und t' die Grundrißspur der Tangente im Punkte p' und ihre Vektoren 

 p und p', dann sind t und t' auf der Geraden a n und es ist: p' : p = 1 — cos'if; 

 die Kurven t und t' sind also homothetisch für a. 



Die Tangentenfläche der Raumkurve. 



Ihr Schnitt mit der Grundrißebene ist die Kurve / beziehungsweise t' ; 

 hre Gleichung ist: 



