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Für a = ist p = 



2a^ 



und sttbn = 2 r; die Konstruk- 



tion des Anfangsdoppelpunktes d ist also: Im Punkte a errichten wir die 

 Senkrechte zu a s und tragen auf dieselbe a b = r, zu b s errichten wir 

 in b die Senkrechte ; dadurch erhalten wir d. Auf die Senkrechte a b tragen 

 wir a c = 2 r, dann ist c d die Normale im Punkte d. Da die Kurve zu « s 

 symmetrisch ist, so ist d ein Doppelpunkt. 



Für a = 90 ist p 



00 , siibig = -^ — ; ihre Konstruktion ist also: 



im Punkte a errichten wir die Senkrechte zu a s und tragen auf dieselbe 

 a e = a + r auf, zu der Verbindungsgeraden s e errichten wir die Senk- 

 rechte e f ; dann ist / ein Punkt der ersten Asjonptote, welche zu a s senk- 

 recht ist: 



Für a = 180« ist p 

 identisch mit d. 



Für a = 270" ist p 



subtg 



oc , subtg = 



2a? 



, subn = 2r; der Punkt ist 



ihre Konstruktion ist 



also: im Punkte a errichten wir die Senkrechte zu as und tragen auf 

 dieselbe a h = r — a auf, zur Verbindungsgeraden s h errichten wir die 

 Senkrechte h i, dann ist i ein Punkt der zweiten Asymptote, welche zu a s 

 ebenfalls senkrecht ist. Für a = 360" erhalten wir wieder d. Soll p = 



7' 



sein, so ist r -\- a sm a = o oder sm a = , was nur für die verlängerte 



Sextik möghch ist; daraus folgt (Fig. 18 b): Die Tangenten aus a zum 

 Grundkreise k sind Kuspidaltangenten im Punkte a unserer Sextik, welche 

 in a doppelten Kuspidalpunkt hat ; übergeht der 

 Punkt a auf den Kreis k, so zerfällt die Sextik 

 in die Quintik und die Tangente in a. 



Die Tangente dieser Sextik ist die Grund- 

 rißspur der Oskulat ionsebene unserer sphärischen 

 Kurve im Punkte p ; diese Ebe-.ie schneidet den 

 mehrmals erwähnten Kegel in emem Kegelschnitte, 

 welcher unsere Raumkurve in p oskuliert ; der 

 Krümmungsmittelpunkt des Kegelschnittes ist 

 zugleich der Mittelpunkt der ersten Krümmung 

 der Raumkurve; wir erhalten ihn aber auch, 

 indem wir von dem erwähnten Scheitel v des 

 Kegels die Senkrechte auf die Oskulationsebene fällen. 



Ebenso wie früher beweist man, daß alle Sextiken, welche den ver- 

 läng, oder verk. klinog. sphär. Kardioiden zugehören, für den Punkt a 

 homothetisch sind, für das Verhältnis 1 — cos <]/ (Siehe Fig. 19) ; alle oben 

 angeführten Konstruktionen sind in Gültigkeit. Z. B. die der Normale N' 

 und der Tangente T' im Punkte i'. 



