Die Fläche der verlängerten oder verkürzten sphärischen 

 Kardioiden. 



Um ihre Gleichung in einfachster Form zu erhalten, transformieren 

 wir den Koordinatenanfang von a nach s ; dann sind die Gleichungen der 

 verlängerten oder verkürzten Rollkurve: 



(54) X — « = (r — a cos ç) cos cp (1 — cos <\i), 



(55) y = (r — a cos cp) sin tp (1 — cos (j*), 



(56) z = (r — a cos ep) sin <\i. 



Durch Elimination erhalten wir die Gleichung der Fläche: 



(57) (.r^ + y^ + z^ — éf = ir^) [{x — af + y^] . 



Diese Fläche hat wieder den imaginären Kreis im Unendlichen zur 

 Doppellinie, gehört also zu den Dar boux'schen Zykliden. Dieselbe ist 



aber eine RoUzyklide, und wir 

 wollen dieselbe kurz verlängerte 

 oder verkürzte Herzfläche nennen. 

 Es treten auf derselben zwei 

 Kurvensysteme auf: 1") die ver- 

 längerten oder verkürzten sphä- 

 rischen Kardioiden. 2. Die Kreis- 

 schnitte. Es ist also wieder eine zyklische Kanalfläche. Dieselbe ist 

 symmetrisch zur Grundriß- und Aufrißebene, und daher zur Z-Achse a s. 

 Die Zentralprojektion der Fläche mit ihren beiden Kurvensystemen 

 auf eine zur Grundebene parallele Ebene ist wieder ein konzentrischer 

 Kreisbüschel und konzentrischer Strahlenbüschel. 



Ist der Punkt a innerhalb des Grundkreises (Fig. 20 a), so ist in der 



