Eine besondere Art von einem gegebenen Dreieck 

 ein- oder umgeschriebenen extremen Dreiecken. 



Von J. SOBOTKA. 



(Mit 8 Figuren im Text.) 

 Vorgelegt am 7. Juni 1913. 



1. In seinem originellen und sehr anregenden Werk über „Maxima 

 und Minima in der elementaren Geometrie" (Leipzig 1910) entwickelt 

 R. Sturm auf Seite 12 folgende zwei Sätze: 



Von den einem gleichseitigen Dreieck umgeschriebenen gleichseitigen 

 Dreiecken ist dasjenige das größte, dessen Seiten durch die Ecken des gegebenen 

 halbiert werden. 



Von den einem gleichseitigen Dreieck eingeschriebenen gleichseitigen 

 Dreiecken ist dasjenige das kleinste, dessen Ecken die Seiten des gegebenen 

 halbieren. 



Wir wollen im folgenden uns vornehmlich mit einer Verallgemeinerung 

 dieser Sätze beschäftigen. 



Verbindet man die Ecken eines Dreieckes ABC mit irgend einem 

 Punkt D seiner Ebene, so bildet, wenn D innerhalb des Dreieckes liegt, 

 die Summe der Winkel A D B, B DC, C D A einen voUen Winkel ; in jedem 

 dieser Winkel ist eine und nur eine Seite von ABC enthalten und die 

 Verlängerung eines jeden Schenkels dieser Winkel über den Scheitel 

 schneidet eine Seite von ABC. Liegt aber D außerhalb des Dreieckes 

 ABC, so wird nur eine von den Seiten desselben durch die Gerade, 

 welche D mit der dieser Seite gegenüberliegenden Ecke verbindet, ge- 

 schnitten. Wir woUen diese Ecke mit C bezeichnen. Verlängern wir C D 

 über D nach DC*, so bilden die Winkel A DB, BDC*, C*D A einen 

 vollen Winkel und der erste von ihnen enthält das ganze Dreieck A B C, 

 während in den beiden anderen keine Seite desselben gelegen ist. Man 

 kann nun ein Dreieck A^B^^Cq mit solchem Umlaufsinn konstruieren, 

 daß seine Seiten A^Bq, B^Cq, CqA^ auch dem Sinne nach parallel sind 

 im ersten Fall zu den Strahlen DC, DA, DB, im zweiten Fall zu den 

 Strahlen DC*, DA, DB. Die Winkel dieses Dreiecks ergänzen sich mit 

 den Winkeha BDC,CDA,ADB beziehungsweise B D C*, C*D A, ADB 

 je auf zwei rechte. Nun denke man sich etwa um D eine Drehung voll- 

 führt, durch welche die Schenkel der gedrehten Winkel in die Lagen 



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