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D A, D B, DC resp. DC* gelangen und führen durch A, B und C die 

 Parallelen zu DA, DB, DC resp. DC*, von denen die ersten zwei sich 

 in C, die erste und dritte in B' und die letzten zwei in A' schneiden 

 mögen. Das Dreieck A' B' C hat stets denselben Umlaufsinn wie das 

 Dreieck A^Bf^C^ und ist ihm ähnlich. Dadurch haben wir cinàem ge- 

 gebenen Dreieck ABC umgeschriebenes Dreieck A' B' C gewonnen, 

 welches dem Dreiecke A^B^C,^ ähnlich ist und mit ihm gleichen Um- 

 laufsinn besitzt. 



Da also die Winkel A DB, B DC resp. B D C* und CDA resp. 

 C*D A entsprechend auch dem Sinne nach gleich sind den über den Seiten 

 A B, B C, C A errichteten Außenwinkeln des Dreieckes A' B'C, so folgt 

 daraus umgekehrt (Fig. 1): 



Ist ein Dreieck A' B' C einem andern ABC umgeschrieben, so 

 schneiden sich die den Dreiecken A B C , B C A' , C A B' umgeschriebenen 

 Kreise (C), (A'), (B') in einem Punkte D. 



Dabei sagen wir, ein Winkel sei über einer Strecke errichtet, wenn 

 seine Schenkel beziehungsweise deren Verlängerungen über den Scheitel 

 durch die Endpunkte der Strecke gehen. 



Andererseits, wenn man einem gegebenen Dreieck ABC Dreiecke 

 A' B' C, A" B" C" , . . . umschreiben soll, welche einem zweiten gegebenen 

 Dreieck A^B^C^^ ähnlich sind, so zieht man durch A, B, C entsprechend 

 die Parallelen zu BqCq, Cq^q, A^^B^, welche schon ein solches Dreieck 

 A' B' C büden, wobei die Zuordnung der Dreiecke ABC und A^B^Cq 

 resp. A' B' C in bestimmter Weise so getroffen werden möge, daß für 

 das letzte die durch A und B gehenden Seiten die Ecke C gemein haben 

 und analog für die übrigen Seiten. Durch cykhsche Vertauschung der 

 Ecken A^, Bq, Cg würde man zu zwei andern Dreiecken A' B' C gelangen. 

 Das Dreieck A' B' C hat mit AoB^Cq gleichen Umlaufssinn. Ist hier 

 wieder D der Schnittpunkt der Kreise (C), [A'), [B'), so sind die Geraden, 

 welche D mit den Ecken von ABC entsprechend d. h. in der zuvor 

 angegebenen Weise darnach, ob D ein innerer oder äußerer Punkt _yon 

 ABC ist, verbinden, so orientiert, daß die Parallelen D A, DB, DC zu 

 den gerichteten Seiten B' C , C A' , A' B' mit ihnen auch dem Sinne nach 

 gleiche Winkel einschließen. Drehen wir nun umgekehrt die so gerichteten 

 Geraden DA, DB, DC resp. DC* um die Punkte A, B, C in demselben 

 Drehungssinn um gleiche Winkel, so bilden dieselben in der gedrehten 

 Lage ein Dreieck A"B"C", welches dem Dreieck ABC umgeschrieben 

 und dem Dreieck AoB^Co gleichsinnig ähnlich ist, wobei die Ecken A", 

 B", C" auf den Kreisen {A'), {B'), resp. (C) liegen. 



2. Konstruieren wir ein zum Dreieck A^BgCo in bezug auf eine 

 beliebige Gerade seiner Ebene symmetrisches A^^ B-^ C^, so gelangen wir 

 auf die erläuterte Weise zu einem neuen D entsprechenden Punkt D^ und 

 zu neuen ABC umgeschriebenen Dreiecken A-^' B^ C^', A-l' B^" Q" sowie 

 zu analogen Kreisen {A^'), (ß/), (C/). Bezeichnen wir den Umlauf sinn 



