nun speziell an, daß k eine gleichseitige Hyperbel ist. Für diese gilt die 

 Eigenschaft, daß eine zu irgend einem Durchmesser senkrechte Gerade 

 inbezug auf die Achsen antiparallel ist zu seinem konjugierten Durch- 

 messer und um^gekehrt. Der Höhenschnitt irgend eines der gleichzeitigen 

 Hyperbel k eingeschriebenen Dreiecks liegt auch auf ihr. Es liegt also 

 der Höhenschnitt H' für das Dreieck A B K auf k und nach einer bekannten 

 Eigenschaft der Parabel auch auf der Leitgeraden von h^. Der Kreis u 

 schneidet k in den Punkten A, F, B, K, und die Paare von Verbindungs- 

 geraden AB, K F ; A F, B K ; A K, B F liegen wie bekannt inbezug auf 

 die Achsen von k antiparaUel ; infolge dessen sind die Richtungen der Ge- 

 raden K F, K H' , weil A' //' J_ .4 B, zu einander konjugiert inbezug auf k. 

 Das gleiche gilt auch für die Geraden B F, B H' , sowie A F, A H'. Darum 

 sind F und H' zwei diametral gegenüberliegende Punkte von k. 



Die Senkrechte von F auf A B treffe k noch im Punkte C. Da der 

 Höhenschnitt des Dreieckes ABC auf k liegt, so ist er identisch mit F. 

 Der dem Dreieck ABC umgeschriebene Kreis ky ist mit dem Kreise u 

 gleich. Er liegt zu ihm S5nTimetrisch inbezug auf A B, geht infolge dessen 

 durch Cj und enthält auch die Gegenpunkte ß^', A^' von F inbezug auf 

 A C, B C. Deshalb gehört der Kreis k^' auch dem Büschel [k^ an, was 

 auch daraus hervorgeht, daß der Kreis /, welcher durch die Fußpunkte der 

 von F auf die Seiten des Dreiecks ABC gefällten Lote geführt wird, 

 Scheitelkreis für denjenigen Kegelschnitt ist, welcher ABC eingeschrieben 

 ist und F zum Brennpunkte hat. Der Kreis k^' liegt zu / ähnlich für F 

 als Ähnlichkeitspunkt und für das Verhältnis 2 : 1 ; er ist somit der dem 

 Brennpunkte F zugehörige Leitkreis des Kegelschnittes. Der Kreis k^' 

 schneidet die Hyperbel k noch in einem Punkte H" , und da wieder A B, 

 C H" ; CA, B H" antiparaUel inbezug auf die Achsen der Hyperbel 

 sind, und FC _\_AB, F B J_C A, so sind die Richtungen in den 

 Strahlenpaaren F C, C H" ; F B, B H" sowie F A, A H" zueinander in- 

 bezug auf k konjugiert. Es fällt somit H" mit dem zu F diametral gegen- 

 überliegenden Punkt H' zusammen, und weil sich in ihm der Kreis k-^^ 

 und die Chordale des Büschels (äJ treffen, so fällt er auch mit dem Grund- 

 piuakt H dieses Büschels zusammen. 



Weil nun F, H zwei diametralgegenüberliegende Punkte von k sind, 

 so folgt daraus, daß die Winkel, welche die Geraden F A, F B, FC mit 

 einander bilden, gleich sind aber entgegengesetzten Sinn haben mit den 

 entsprechenden Winkeln, welche die Geraden HA, HB, HC mit einander 

 bilden. Nebstdem haben wir hier den speziellen Satz: 



,, Schreibt man irgend einem einer gleichseitigen Hyperbel einge- 

 schriebenen Dreieck einen Kegelschnitt ein, dessen ein Brennpunkt F auf 

 der Hyperbel liegt, so geht der diesem Brennpunkt zugehörige Leitkreis 

 des Kegelschnittes durch den zu F diametral gegenüberliegenden Punkt 

 der Hyperbel." 



4. Kehren wir mm zu unseren früheren Betrachtungen über umge- 



