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schriebene Dreiecke zurück. Es sei A' B' C ein dem Dreieck ABC um- 

 geschriebenes Dreieck, d. h. ein Dreieck, welches in der Beziehung mit 

 ihm ist, daß die Geraden A' B' , B' C , C A' durch C, B, A gehen. Jedes 

 Dreieck, das ABC umgeschrieben und mit A' B' C gleichsinnig ähnlich 

 ist, hat seine Ecken auf den Kreisen {A'), {B'), (C). Es seien a, ß, y die 

 Mittelpunkte dieser Kreise (Fig. 1). Die Schnittpunkte A", B", C" von 

 Da, Dß, Dy mit (^4'), (B'), (C) bestimmen ein Dreieck, welches ABC 

 gleichfalls umgeschrieben ist und zum Dreieck cc ß y ähnlich liegt für D 

 als Ähnhchkeitspunkt. Es ist A" B" C" mit A' B' C gleichfaUs gleich- 

 sinnig ähnlich, und die Seiten von A' B' C schließen mit den entsprechenden 

 von A" B" C" gleiche Winkel oj ein; es ist A' B' = 2 a ß cos co, somit 

 A' B' : A" B" = cos co. 



Sind U', U" die Umfange, P', P" die Flächeninhalte dieser Drei- 

 ecke, so ist , 

 U' = U" cos CO, P' = P" cos- 03. 



Daraus folgt: 



Von den einem gegebenen Dreiecke ABC umgeschriebenen Dreiecken, 

 welche einem zweiten gegebenen Dreieck ähnlich sind, ist dasjenige das größte, 

 für welches die Senkrechten zu den Seiten in den Punkten A, B, C sich in 

 einem Punkte schneiden. 



Damit ist auch die Lösung der Aufgabe, einem gegebenen Dreieck 

 ABC das größtmögliche Dreieck umzuschreiben, welches einem zweiten 

 gegebenen Dreieck A^ B^ C^ ähnlich ist, gegeben. 



Das Vorangehende zusammenfassend, schreiben wir dem Dreieck in 

 der früher angegebenen Weise ein Dreieck A' B' C so um, daß seine Seiten 

 den Seiten von A^B^^C^ entsprechend parallel sind; beschreiben zwei der 

 Kreise [A'), [B'), (C) um die Dreiecke B C A' , CA B' , ABC und er- 

 mitteln ihren Schnittpunkt D. Alsdann ist das Dreieck A" B" C", dessen 

 Seiten durch A, B, C senkrecht zu. D A, B D, DC gehen oder parallel zu 

 den Seiten ß y, y a, aß des Mittelpunktsdreiecks der erwähnten Kreise 

 geführt werden, das gesuchte. 



ABC 

 Es ist also das Verhältnis \ ,r^,„, der Flächeninhalte zweier Drei- 

 A'B'C 



€cke gegebener Gestalt, von denen das eine ABC dem andern A' B' C 



eingeschrieben ist, ein Minimum, wenn die Senkrechten in ^, ß, C zu den 



Seiten B'C, CA', A' B' sich in einem Punkte schneiden. Wir können 



also sagen: 



Von den einem gegebenen Dreiecke A' B' C eingeschriebenen Dreiecken, 

 welche einem zweiten gegebenen Dreieck ähnlich sind, ist dasjenige ABC 

 das kleinste, für welches die in den Ecken A, B,C zu den Seiten von A' B' C 

 errichteten Senkrechten sich in einem Punkte schneiden. 



Um also einem gegebenen Dreieck A' B' C das möglich kleinste 

 einem zweiten gegebenen Dreieck A* B* C* ähnliche Dreieck ABC der 

 Reihenfolge der Ecken entsprechend einzuschreiben, so schreiben wir zu- 



