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nächst dem Dreieck A* B* C* das größtmögliche Dreieck A" B" C'\ 

 welches A' B'C ähnlich ist, xim, und zu der so erhaltenen Figur konstruieren 

 wir eine ähnliche, so daß dem Dreieck A" B" C" das Dreieck .4' B' C ent- 

 spricht ; in dieser Ähnlichkeit entspricht alsdann dem Dreiecke .4* B* C* 

 das fragliche Dreieck A B C. 



Hätte man auf den Umlaufsinn der Dreiecke keine Rücksicht zu 

 nehmen, so bekämen wir für jede der soeben gelösten Aufgaben zwei ver- 

 schiedene Lösungen; eine entspräche dem Dreieck AgB^Cg, resp. A*B*C*. 

 die andere einem Dreieck, das zu ihm inbezug auf irgend eine Gerade seiner 

 Ebene symmetrisch liegt. Im Falle der ersten Lösung werden wir, wenn 

 das Dreieck A^BgCg gegeben ist, zum Punkte D, bei der zweiten zum 

 Punkte D^ geführt und wir wissen bereits, daß A, B, C auf einer gleich- 

 seitigen Hyperbel liegen, welche D D^ zum Durchmesser hat. 



Da die von den gerichteten Geraden DA, D B, D C eingeschlossenen 

 Winkel entgegengesetzt gleich denen von den entsprechend gerichteten 

 Geraden D^A, D^B, D^C sind, so werden sie durch symmetrische Ab- 

 bildung z. B. der letzteren inbezug auf irgend eine Gerade der Ebene 

 auch dem Sinne nach gleich. Daraus folgt (Fig. 2), daß die inbezug auf 

 die Seiten AB, BC, CA zu (C), (^4'), {B') symmetrischen Kreise (C/), 

 (ßi'), (Ai) sich im Punkte D^ schneiden und daß auf diesen Kreisen die 

 Scheitel solcher Dreiecke liegen, welche ABC umgeschrieben und dem 

 Dreieck A^BqCq ähnlich sind aber mit ihm entgegengesetzten Umlaufsinn 

 haben. 



Die Senkrechten in A, B, C zu D^ A, D^ B, D^ C liefern alsdann das 

 größte Dreieck A" B" C" von den ABC umgeschriebenen, die A^B^C^ 

 ähnlich aber dem Sinne nach entgegengesetzt sind. 



Aus unseren früheren Betrachtungen geht hervor, daß die zu D 

 inbezug auf BC, CA, AB symmetrisch liegenden Punkte A^, B^, Q auf 

 einem Kreise / liegen, der durch Z)j geht und zum Mittelpunkt den Brenn- 

 punkt L desjenigen Kegelschnittes hat, welcher dem Dreiecke ABC 

 eingeschrieben ist und D zu einem Brennpunkt hat. Es ist somit L der 

 zu D inbezug auf das Dreieck ABC inverse Punkt, so daß die Verbindungs- 

 geraden von L mit den Ecken A, B, C zu den Verbindungsgeraden von D 

 mit denselben Ecken symmetrisch inbezug auf die Winkelhalbierenden des 

 Dreiecks ABC liegen, was ja auch unsere Konstruktion bestätigt. Denn 

 (Fig. 2) die Symmetrale vcn B^ Cj geht durch .4, weil .4 Cj = A B^ =^ A D 

 imd ist ein Durchmesser von /, so daß <^ C^A L = <^ LA Bj^ = i <^ C^ABi 

 = <^BAC. Es ist also auch ^B A L = <^C A B^ = -^D A C. 



Analoge Resultate erhalten wir bezüglich D^. Sind a^, ßi, j'j die 

 Mittelpunkte von {A-^'), (ßi'), (C/), so ist 74^' B" C" ähnlich liegend zu 

 dem Dreieck a^ ß^ y^ für D^ als Mittelpunkt im Verhältnis 2:1. Die gegen- 

 seitige Lage von a ß y und cc^ß^yi ist die, daß a, ct^; ß, ßi', 7,Yi symme- 

 trisch zueinander liegen inbezug auf B C, C A, A B. Da der zu D symme- 

 trische Punkt .4j inbezug auf B C auf dem Kreis {A'i) liegt, so ist D^a^^ =A^ai, 



