und ."1, «1, Da sind gleichfalls zueinander symmetrische Strecken inbezug 

 auf B C. Folglich ist 



Z) « = ,-1 1 «j = D, «1 ; 

 desgleichen 



I)ß=D,ß„ Dy = D, Yv 



Es haben deshalb die extremen Dreiecke A" B" C" , A" B" C" die 

 Eigenschaft, daß die Entfernungen der Ecken des ersten Dreieckes von D 

 gleich sind den Entfernungen der entsprechenden Ecken des zweiten 

 Dreieckes von D-^. 



5. Dies führt uns zur folgenden Erwägung: 



Betrachten wir zunächst zwei gleichsinnig ähnliche Dreiecke L M N , 

 L M N, und 0, seien die Mittelpunkte der ihnen umgeschriebenen 

 Kreise g, g. Wir können die Dreiecke in eine solche ähnliche Lage L' M' N' , 

 TJ M' N' bringen, daß die Mittelpunkte 0, in 0' zusammenfallen, wodurch 

 g, g nach g', g' gelangen und /-' L' , M' M' , N' N' durch 0' gehen, was auf 

 zweifache Art möglich ist. 



Heben wir eine dieser Zuordnungen her\-or. Irgend einem Punkte P' 

 auf g' möge in dieser Weise der Punkt P' auf g' homolog sein. Es ist da 

 P' U = P' L', P' M' = P' M', P' N' = P' N'. Daraus schließen wir, daß 

 die auf g' liegende Reihe der Punkte P' und die ihr homologe Reihe der 

 Punkte P' auf g' der geometrische Ort von Punkten sind, für welche die 

 soeben hervorgehobenen Gleichheiten bestehen. Daß es außerhalb oder 

 innerhalb von g' und g' keinen Punkt gibt, dem diese Eigenschaft zukommt, 

 ist leicht einzusehen. Denn wären //', H' zwei solche Punkte, und setzen 

 wir 

 O'H' = d, O'H' = d.-^H'O'L' = e„<^H'q'M' = «i + a,<^H'0'N' 

 = £i + ö und <^H'0'L'=s,, 

 so ist 



//'O'M' = f. + a, <$: i/'0'.V'= £, + ö. 



Drücken wir mit Hilfe des Cosinussatzes H'L', H'M', H' N' sowie 

 H' L', H' M' , H' N' aus den Dreiecken, welche diese Strecken zu Grund- 

 linien und 0' zum Scheitel haben, aus und setzen H' L' = H' L', . . . so 

 finden wir, daß zunächst s^ = £2 sein muß, und daß somit H', H' auf einem 

 Strahl durch 0' liegen, woraus man dann findet, daß d gleich dem Halb- 

 messer des dem Dreiecke U M' N' und â gleich dem Halbmesser des dem 

 Dreiecke L' M' N' umgeschriebenen Kreises sein muß, wodurch unsere Be- 

 hauptung bewiesen ist. 



Analoges gilt für zwei ungleichsinnig ähnliche Dreiecke L* M* N*, 

 L* M* N*, durch deren Ecken die Punktreihen der Kreise g, g einander 

 gleichfalls ungleichsinnig ähnlich zugeordnet werden. 



Beschreiben wir nun den zu g konzentrischen mit g gleichen Kreis h 

 und ebenso den zu g konzentrischen und g gleichen Kreis h ; sind alsdann 

 A', K zwei sich entsprechende Punkte in der Ähnlichkeit der Kreise g, g 



