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«1 ^= la sin a 

 und analog 



èj = 1^ sin ß, Cj = ly sin y 

 ist. 



Es sei V der ABC umgeschriebene Kreis mit dem Mittelpunkte 0. 



Das Dreieck A^ B^ Cj, welches wir aus P abgeleitet haben, besitzt 

 einen bestimmten Umlaufsinn. Nehmen wir P zunächst außerhalb von v 

 an. Nähert sich dieser Punkt auf P dem Kreise v, so ändert sich das 

 Dreieck A^BiC^, seinen Sinn behaltend, und wird kleiner und kleiner, was 

 man sofort ersieht, wenn man A^B^Ci = A^B^P + B^^C^P + C-^A^P setzt. 

 SchHeßlich artet A^B-^C^ in eine Gerade aus, wenn nämlich P auf v zu 

 liegen kommt. Gelangt dann P ins Innere von v, so kehrt A^ B^ Q seinen 

 Umlaufsinn um und wächst absolut wieder bis zu einem Maximum, welches 

 es erreicht, wenn P nach kommt, wie wir sogleich erkennen werden, 

 und nimmt bei weiterem Fortschreiten von P wieder ab, bis es neuerdings 

 in eine Gerade ausartet, wenn P wieder auf v gelangt, um dann wieder den 

 Umlaufsinn zu wechseln und dabei im weiteren Verlauf beständig zu 

 wachsen. Um diesen Verlauf näher zu kennzeichnen, drücken wir den 

 Flächeninhalt von A^BiC^ aus: Wir setzen OP = k und bezeichnen den 

 Halbmesser von v mit r. Die Fußpunkte der Senkrechten von auf die 

 Seiten des Dreiecks ABC bezeichnen wir entsprechend mit .-I,,, B^, Cq 

 und setzen 



.4o = a„', B„= V. Co = Cg', 



P A^ = a^' , P B, = W, PC, = c,', 



wobei die Längen «o'. ^o'. <^o positiv oder negativ genommen werden, je- 

 nachdem ob auf derselben Seite von BC, C A, A B liegt wie das Dreieck 

 ABC selbst oder auf der entgegengesetzten Seite, während die Längen 

 flj', bi, c/ gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen von den Strecken Uq', 

 bg, Co bekommen jenachdem, ob sie mit ihnen auf derselben Seite oder zu 

 entgegengesetzten Seiten von B C, CA, AB liegen. Orientieren wir auch 

 noch P mit ^ jB C in bestimmter Weise und es möge dann P mit den 

 orientierten Seiten AB, BC, CA beziehungsweise die Winkel «', ß' , y' 

 bilden. Alsdann ist auch dem Sinne nach 



^1 — ag = k sin «', 0/ — bg = k sin ß', c{ — ■ Cg = k sin y'. 



Für den Inhalt Ao von A g Bg Cg bekommen wir also auch mit Rück- 

 sicht auf die Vorzeichen 



2 Ao = ^o' ^a s^" Y + ^o' '^0 s«î « + Co ^0 ^*'" ß> 



und für den Inhalt Ai von A^ B^ Q ebenso 



2 Ai = dl W s^" y + ^1 Cl sin « + Cl' a^' sin ß. 



