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Es ist also 



2 A] = («o' + k sin a') {bo + k sin ß') sin y 

 + (&o' + ^ s'" /^') ('^o' + ^ s/« y') s;'« « 

 + {Cq + Ä s//î y') (iig' + Ä s(« «') s/«< /3, 

 oder 



2 Ai = 2 Ao + ^ '^ + .« ^-. (1) 



worin 



/l = («(,' s/h j' + C(,' sin u) sin ß' + {b(^ sin y + f,,' sin ß) sin u' 



+ {bn sin a -\- a^' sin ß) sin y' 



jtt = sin «' sin ß' sin y + sin ß' sin y' sin a + sin y' sin «' sin ß. 



Bezeichnen wir die Seiten von A^B^C^ mit a„, bg, c^, so ist 



/l = èo sin ß' -\- «0 sin a' + Cq sin y' = 0. 



Daß l = 0, erkennen wir auch so: Wir wälilen auf OP den Punkt P 

 in der Lage P', für welche OP' = PO, so erhalten wir ein neues Fußpunkt- 

 dreieck A.2 Bo Co , dessen Inhalt A-i wir aus Ai erhalten, wenn wir in die 

 Formel (1) — k statt k einsetzen, also 



2 A^ = '2 Ao — ^k + itk-. (2) 



Lassen wir in (1) und (2) den Punkt P resp. P' auf den Kreis v seihst 

 Ivommen, so wird Ai = A2 = 0, so daß 



2 Ao + >"' '' + f"'" = 0, 2 Ao — -l '' + f '-' = 0- 



2 A 



Aus diesen zwei Gleichungen folgt, daß Â = 0, und ft = r^ist. 



Dadurch gehen die Gleichungen (1) und (2) in eine einzige über; 

 nämlich 



Ai= A2= Ao — ^ Ao; 



wenn wir die Potenz des Punktes P resp. P' inbezug auf den Kreis v mit 

 p"^ bezeichnen, so wird schließlich 



A. = --^Ao- (3) 



Daraus sieirt man, daß der Umlaufsinn von .4^ B^ C^ für einen Punkt P 

 gleich oder entgegengesetzt mit dem von AoBgC^ ist, jenachdem ob P ein 

 innerer oder äußerer Punkt von v ist und daß unter allen diesen Dreiecken 

 Ao' wenn es positiv genommen wird, ein Maximum ist. 



Für alle Punkte P, welche sich auf einem mit v konzentrischen Kreise 

 befinden, sind die zugehörigen Dreiecke A^ ß^ Q flächengleich. Ist P ein 

 äußerer Punkt und i die Länge der Tangenten an v von ihm, so hat man 



