■die Seiten von A« im Verhältnis — zu vergrößern, um ein dem Dreieck Ai 



tlächengleiches Dreieck von entgegengesetztem Umlaufsinn zu erhalten. 

 Ist P ein innerer Punkt von v und t' die halbe Länge der zu P senkrechten 



Sehne in v und man verkleinert die Seiten von An im Verhältnis — , so 

 erhält man ein mit Ai flächengleiches Dreieck von gleichem Sinn. 



7. Es seien (Fig. 5 und 6) in einer Ebene zwei ähnliche Dreiecke 

 A' B' C , Ä' B' C' von entgegengesetztem Umlaufsinn gegeben, o" , o" 

 seien die ihnen umgeschriebenen Kreise mit den Mittelpunkten 0" , 0" 

 und ermitteln wir in der vorher beschriebenen Weise in der Ebene die 

 Punkte Z), D^ so, daß D A' = D^ Ä' , D B' = D^ B', D C = D, C . Als- 

 dann sind die Fußpunktdreiecke A-^ B-^ Q, resp. A-^ B-^ Cj der Normalen von 

 D auf die Seiten des Dreieckes A' B' C, resp. von D^ auf die Seiten des 

 Dreieckes A' B' C kongruent und haben gleichen Sinn. Denn es ist, wie 

 früher, 



v4i ßj = DC sin y, Aj^ B^ = Z)j C sin y, 

 wobei 



y = <^A'C'B' = ^B' CA' 



und da D C = D^ C, so ist 



A^ Bj = -li B^ und ebenso B^ Cj = ß^ Q, Q A^ = Q .4i. 



Ist nun D ein innerer Punkt von o", so ist nach früherem o" > o" 

 und Z)i ist ein äußerer Punkt von o". Darum ist das für A' B' C aus D 

 abgeleitete Fußpunktdreieck gleichsinnig mit dem aus 0" für A' B' C 

 abgeleiteten Fußpunktdreieck. Da die aus 0" und 0" abgeleiteten Drei- 

 ecke je den Sinn haben wie die Dreiecke A' B'C ' , A' B' C , also ungleich- 

 sinnig sind, so ersehen wir auch daraus, daß die aus D und D^ soeben ab- 

 geleiteten Dreiecke gleichsinnig sind. 



Fällt insbesondere D in den Mittelpunkt des dem Dreieck A' B' C 

 umgeschriebenen Kreises, dann reduziert sich A', B', C auf einen Drei- 

 strahl. 



Analoge Schlüsse ergeben sich, wenn D ein äußerer Punkt von o" ist. 



Wir können also zwei ähnliche Dreiecke A'B'C, A' B' C von 

 entgegengesetztem Sinn auf unendlich viele Arten in solche Lagen bringen, 

 daß sich ihre homologen Seiten in den Ecken eines Dreiecks schneiden von 

 der Beschaffenheit, daß es unter den zu ihm ähnlichen Dreiecken, welche 

 man den gegebenen Dreiecken einschreiben kann, den kleinsten Inhali hat. 



8. Wir kehren nochmals zu der Aufgabe zurück, einem gegebenen 

 Dreieck ABC das kleinste A^ B^ Cj einzuschreiben, welches einem gege- 

 benen Dreieck A^ Bg Cg ähnlich ist. Wir werden bei bestimmter Zuordnung 

 zu zwei Dreiecken geführt, von denen eines mit A^B^Cf, gleichen, das 

 andere ungleichen Sinn hat und können die frühere diesbezügliche Kon- 

 struktion, wie folgt, modifizieren. 



